62. Замена переменной в определенном интеграле.

Теорема 21. Если ϕ : [α; β] → [a; b] - непрерывно дифференцируемое отображение отрезка α ≤ t 6 ≤ в отрезок

a ≤ x 6 ≤ такое, что ϕ(α) = a и ϕ(β) = b, то при любой непрерывной на [a; b] функции f(x) функция f(ϕ(t)) · ϕ’(t) непрерывна на отрезке [α; β] и справедливо равенство

(4.23)

Доказательство. Пусть F(x) - первообразная функции f(x) на [a; b]. Тогда по теореме о дифференцировании композиции функций, функция F(ϕ(t)) является первообразной для функции f(ϕ(t)) · ϕ’(t), непрерывной, как композиция и произведение непрерывных функций на отрезке [α; β]. По формуле Ньютона-Лейбница

Но по условию, ϕ(α)=a, ϕ(β)=b, т.е. равенство (4.23) имеет место.

Теорема 21’. Пусть ϕ : [α; β] → [a; b] - непрерывно дифференцируемое, строго монотонное отображение отрезка

α≤t≤β в отрезок a≤x≤b с соответствием концов ϕ(α) = a, ϕ(β) = b или ϕ(α)=b, ϕ(β)=a. Тогда при любой функции f(x), интегрируемой на отрезке [a; b], функция f(ϕ(t)) · ϕ’(t) интегрируема на [α; β] и справедливо

.

63. Интегрирование по частям. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме.

Теорема 22. Если функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке с концами a и b, то справедливо

соотношение

(4.24)

или в сокращенном виде

Доказательство. По правилу дифференцирования произведения функций имеем

(u · v)’= u’· v + u · v’.

По условию все функции в этом равенстве непрерывны, а значит, и интегрируемы на отрезке с концами a и b. Используя

линейность интеграла и формулу Ньютона-Лейбница, получаем

В качестве следствия получаем формулу Тейлора с интегральным остаточным членом.

Пусть на отрезке с концами a и x функция f(t) имеет n непрерывных производных. Используя формулу Ньютона-

Лейбница и формулу (4.24), проделаем цепочку преобразований, в которых все дифференцирования и подстановки производятся по переменной t:

где

(4.25)

И так, доказана

Теорема 23. Если функция f(t) имеет на отрезке с концами a и x непрерывные производные до порядка n включительно, то справедлива формула Тейлора

с остатком r_n−1(a;x), представленным в интегральной форме

64. Некоторые приложения определённого интеграла.

1. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат.

Из геометрического смысла определённого интеграла следует, что если f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и прямыми x = a и x = b, может быть вычислена по формуле S= , (5.26)

причем S ≥ 0. Если f(x) < 0 ∀x ∈ [a; b], то и ≤ 0 при a < b. Следовательно, в этом случае

(5.27)

Если подынтегральная функция f(x) конечное число раз меняет знак на отрезке [a; b], то интеграл (5.26) равен алгебраической сумме площадей соответствующих криволинейных трапеций, лежащих над осью Ox (со знаком «+») и под этой осью (со знаком «-»).

2. Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линией L, заданной в полярной системе координат {0, r, ϕ} уравнением

r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

За базовую фигуру в полярной системе координат принимается криволинейный сектор-фигура, ограниченная линией r = r(ϕ) и радиус-векторами ϕ = α, ϕ = β. При этом криволинейный сектор будем считать правильной фигурой, т.е. такой, что любой луч ϕ=ϕ∗, α≤ϕ∗≤β, исходящий из полюса O, пересекает линию r=r(ϕ) не более, чем в одной точке. Будем также предполагать, что функция r = r(ϕ) непрерывна на отрезке [α; β].

Для вычисления площади криволинейного сектора OAB применим алгоритм составления интегральной суммы с

последующим предельным переходом к определенному интегралу.

1. Разобьём отрезок [α; β] на n частичных отрезков точками α=ϕ₀ < ϕ₁ < ... < ϕ_n = β. Обозначим ∆ϕ_k = ϕ_k−ϕ_k−1,

k = . Проведем лучи ϕ = ϕ_k, k = . Тогда криволинейный сектор OAB разобьется на n частичных криволинейных секторов.

2. На каждом частичном отрезке [ϕ_k; ϕ_k−1], k = выберем произвольным образом точку θk и найдем значения

функции r(ϕ) в этих точках: r_k = r(θ_k), k = .

3. Предположим, что на каждом из частичных отрезков [ϕ_k−1;ϕ_k] функция r=r(ϕ) постоянна и совпадает со значением r_k = r(θ_k). Тогда каждый частичный криволинейный сектор можно заменить круговым сектором с радиусом r_k = r(θ_k) и центральным углом ∆ϕ_k. Площадь такого кругового сектора вычисляется по формуле За площадь S криволинейного сектора OAB примем площадь фигуры, состоящей из n частичных круговых секторов:

Приближенное равенство (5.28) тем точнее, чем меньше отрезки [ϕ_k−1; ϕ_k], т.е. чем больше n. Правая часть равенства (5.28) является интегральной суммой для непрерывной функции r²(ϕ) на отрезке [α; β]. Таким образом, площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле

(5.29)