45. Выпуклость функции

Определение 1. Функция f(x) называется выпуклой вниз (выпуклой) на интервале (a; b), если для любых x₁ и x₂ из

(a; b), a ≤ x₁ < x₂ ≤ b, хорда AB лежит не ниже графика этой функции, где A =(x₁, f(x₁)), B =(x₂, f(x₂)), т.е.

f(x₁+t(x₂−x₁))≤f(x₁)+t·(f(x2) − f(x1)), t ∈ [0; 1]. (5.28)

Определение 2. Функция f(x) называется выпуклой вверх (вогнутой) на интервале (a; b), если для любых x₁ и x₂ из

(a; b), a ≤ x₁ < x₂ ≤ b, хорда AB лежит не выше графика этой функции, т.е. если f(x₁+t(x₂−x₁))≥f(x1)+t·(f(x₂ −f(x₁)), t∈[0; 1].

Теорема 18. Непрерывно дифференцируемая функция f(x) выпукла вниз на (a; b) тогда и только тогда, когда для любых x₁ и x₂ из (a; b) выполнено неравенство

f(x₂) ≥ f(x₁) + f’(x₁)(x₂ − x₁) (5.29)

Доказательство. Необходимость. Из (5.28) имеем f(x₁+t(x₂−x₁))−f(x₁)t f(x₂)−f(x₁). В этом неравенстве перейдём к пределу при t → +0. Получим

lim _t→+0f(x₁ + t(x₂ − x₁))− f(x₁)t= lim _t→+0f(x₁ + t(x₂ − x₁))− f(x₁)t(x₂ − x₁)·(x₂ − x₁) = f’(x₁)(x₂ − x₁) ≤ f(x₂) − f(x₁).

Достаточность. Пусть выполнено условие (5.29). Примем в нём x₁ = x. Тогда f(x₂) ≥ f(x) + f’(x)(x₂ − x). (5.30)

Заменив в (5.30) x₂ на x₁, будем иметь f(x₁)≥f(x)+f’(x)(x₁−x). (5.31)

Умножив обе части неравенства (5.30) на t, а неравенства (5.31) на 1−t и сложив получившиеся при этом неравенства,

получим tf(x₂) + (1 − t)f(x1) ≥ f(x) + f’(x)·(t(x₂ − x₁) + x₁ – x).

Отсюда при x = x₁ + t(x₂ − x₁) получим

f(tx₂ + (1 − t)x₁)≤tf(x₂) + (1 − t)f(x₁), t ∈ [0; 1], т.е. (5.28).

Аналогично доказываются необходимые и достаточные условия выпуклости вверх на интервале непрерывно дифференцируемой функции f(x).

Составим уравнение касательной к графику непрерывно дифференцируемой функции f(x) в точке x1: Y=f(x₁)+f’(x₁)(x−x₁).

Тогда правая часть неравенства (5.29) есть Y (x₂) и, значит, f(x₂) > Y (x₂). Отсюда и из теоремы 18 получаем:

Следствие 2. Непрерывно дифференцируемая функция f(x) выпукла вниз на (a; b) тогда и только тогда, когда все точки (x,f(x)), x ∈ (a; b), графика функции f(x) лежат не ниже касательной проведенной к нему в точке (x₁, f(x₁)), x₁ ∈ (a; b).

Теорема 19 (достаточное условие выпуклости).

Если f(x) дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a; b) и f’’(x)>0, ∀x∈(a;b), то на (a;b) функция f(x) выпукла вниз.

Если f’’(x)<0, ∀x∈(a;b), то на (a;b) функция f(x) выпукла вверх.

Доказательство. Пусть x₁ - любая точка на (a; b). К графику функции f(x) в точке (x₁, f(x₁)) проведём касательную Y(x)=f(x₁)+f’(x₁)(x−x₁).

Функцию f(x) разложим по формуле Тейлора

f(x) = f(x₁) + f’(x₁)(x − x₁) + + (x − x1)2,

где ξ ∈ (x1; x).

Рассмотрим разность f(x) − Y (x) = 1

2f’’(ξ)(x − x1)², которая представляет собой разность ординат кривой f(x) и касательной Y (x) в точке x. В силу непрерывности f’’(x), если f’’(x₁) > 0, то и f’’(ξ) > 0 в достаточно малой окрестности V (x₁) точки x₁, а потому и f(x) − Y (x) > 0, ∀x ∈ V (x₁).

Аналогично, если f’’(x₁) < 0, то f(x) − Y (x) < 0, ∀x ∈ V (x₁).

На основании следствия получаем, что в первом случае функция выпукла вниз, во втором - выпукла вверх.