41. Остаточный член. Форм.Тейл.По Лагранжу и Коши.

Для остаточного члена формулы Тейлора существуют и другие представления. Потребуем, чтобы функция f(x) имела n + 1-ю производную в окрестности точки x₀. Введем новую функцию g(x) = (x − x₀)ⁿ⁺¹. Для нее g(x₀) = g’(x₀) = g’’(x₀) = . . . = g⁽ⁿ⁾(x₀) = 0, g⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) = (n + 1)! 0.

К функциям R_n(x) = f(x) − P_n(x) и g(x) на отрезке [x₀; x] применим теорему Коши.

г де ξ₁ ∈ (x₀; x), ξ₂ ∈ (x₀; ξ₁), . . . , ξ_n ∈ (x₀; ξ_n−1), ξ ∈ (x₀; ξ_n) ⊂ (x₀; x). Но g⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) = (n + 1)!, R⁽ⁿ⁺¹⁾_n (ξ) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) − 0 = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ). Следовательно

Это формула Тейлора по форме Лагранжа.

42.Раскрытие неопределенностей. Остановимся на одном частном, но полезном приеме отыскания предела отношения функций, известном как правило Лопиталя.

Теорема 10 (Неопределенность вида 0/0 ). Пусть:

1) функции f(x) и g(x) определены в промежутке (a; b];

3) в промежутке (a; b] существуют конечные производные f’(x) и g’(x), причем g’(x) 0; 4) существует (конечный или бесконечный) предел Доказательство. Дополним определения функций f(x) и g(x), положив их при x = a равными нулю: f(a) = g(a) = 0. Тогда эти функции окажутся непрерывными во всем замкнутом промежутке [a; b]; их значения в точке a совпадают с пределами при x → a, а в прочих точках непрерывность вытекает из существования конечных производных. Применяя теорему Коши, получим

где a < c < x. То обстоятельство, что g(x) 0, т.е. g(x) g(a) есть следствие предложения g’(x) = 0. Когда x → a, очевидно, и c → a, так что, в силу условия 4)

Теорема 11 (Неопределенность вида ∞/∞). Пусть: 1) функции f(x) и g(x) определены в промежутке (a; b];

3) существуют в промежутке (a; b] конечные производные f’(x) и g’(x), причем g’(x) 0;

4) существует (конечный или бесконечный) предел

43.Признаки постоянства. Возраст. И убыв. Ф-ции.

Теорема13. Для того чтобы дифференцируемая наинтервале (a; b) функция f(x) возрастала (убывала) необходимо и достаточно, чтобы во всех его точках производная была неотрицательной, т. е. f’(x) 0 (неположительной,f’(x) 0). Доказательство.Необходимость. Если функция f(x) возрастает на (a; b), то для любой точки x0 ∈ (a; b) при x > 0 имеем y = f(x₀ + x) − f(x₀) 0. Поэтому 0 и переходя к пределу при x → 0, получим f ’(x) 0. Достаточность. Пусть a < x₁ < x₂ < b. Тогда, по формуле Лагранжа f(x₂) − f(x₁) = f’(ξ)(x₂ − x₁), где x₁ < x₂. Так как x₂ − x₁ > 0, то при f’(x) 0 на (a; b) (откуда следует, что, в частности, f’(ξ) 0) будем иметь f(x₁) f(x₂) т. е. функция f(x) возрастает. Следствие 1. Если функция непрерывна на некотором интервале и имеет всюду в нём положительную (отрицательную) производную, кроме, быть может, конечного числа точек, в которых производная обращается в нуль или не существует, то функция строго возрастает (строго убывает). Доказательство непосредственно следует из теоремы 13: достаточно её последовательно применить ко всем промежуткам, на которые разбивается заданный интервал указанным конечным множеством точек.

44. Экстремум ф-ции. Теорема 14. Пусть x₀ является точкой экстремума функции f(x), определённой в некоторой окрестности точки x₀. Тогда либо производная f’(x₀) не существует, либо f’(x₀) = 0. оказательство. Действительно, если x₀ является точкой экстремума для функции f(x), то найдётся такая окрестность V (x₀), что значение функции f(x) в точке x₀ будет наибольшим, или наименьшим на этой окрестности. Поэтому если в точке x₀ существует производная, то она, согласно теореме Ферма равна нулю. геометрический смысл теоремы 14 заключается в следующем: в точках экстремума функции f(x) касательная к её графику параллельна оси абсцисс, если существует f’(x₀) = 0; параллельна оси ординат, если f’(x₀) бесконечна; существуют не совпадающие левая и правая касательные, если f’(x₀ − 0) f’(x₀ + 0).Точки, в которых функция y = f(x) определена, а ее производная равна нулю, или не существует, называют критическими. Точки, в которых функция y = f(x) определена, а ее производная равна нулю, называют стационарными. Теорема 15 (Первый достаточный признак существования экстремума функции). Пусть x₀ - критическая точка непрерывной функции f(x). Если f’(x) при переходе через точку x₀ меняет знак с «+» на «-», то x₀ - точка локального максимума; если f’(x) при переходе через точку x₀ меняет знак с «-» на«+», то x₀ - точка локального минимума; если f’(x) при переходе через точку x₀ не меняет знак, то x₀ не является точкой локального экстремума. Теорема 16 (Второй достаточный признак существования экстремума функции). Стационарная точка x₀ функции f(x), дважды дифференцируемой в V (x0), является точкой локального минимума если f’’(x₀) > 0, и точкой локального максимума, если f’’(x₀) < 0. Теорема 17 (Третий достаточный признак существования экстремума функции).

Пусть функция f(x) n раз непрерывно дифференцируема в точке x₀ и f’(x₀) = f’’(x₀) = . . . = f⁽ⁿ⁻¹⁾(x₀) = 0,f⁽ⁿ⁾(x₀) 0. Тогда: 1) если n - чётное и f⁽ⁿ⁾(x₀) < 0, то x₀ - точка локального максимума; 2) если n - чётное и f⁽ⁿ⁾(x₀) > 0, то x₀ - точка локального минимума;

3) если n - нечётное, то x₀ - не является точкой локального экстремума.