26.Непр. Элементарн.Ф-ций.

П остоянная функция. Функция f(x) = C, где C = const, ∀x ∈ X непрерывна в любой точке x0, поскольку = =С=f(x₀). Многочлены и рациональные функции. Функция P_n(x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹+ . . . + aⁿ⁻¹x + aⁿ, где a_i, i = 0, n – действительные числа, называется многочленом от x степени n. Докажем сначала непрерывность функции f(x) = a_kx^k в любой точке x ∈ R. Согласно биному Ньютона

О тсюда заключаем, что функция f(x) = a_kx^k непрерывна в любой точке x ∈ R. Тогда многочлен P_n(x) является непрерывной функцией в любой точке x ∈ R как сумма непрерывных функций вида a_kx^k, k = 0, n. Рациональной называется функция вида

г де P_n(x), Q_m(x) – многочлены степеней n и m cоответственно. Рациональная функция во всех точках, в которых Q_m(x) не обращается в нуль, непрерывна как отношение двухнепрерывных функций. Тригонометрические функции: Докажем непрерывность функции f(x) = sin x в любой точке x ∈ R. Имеем

так как Отсюда следует, что если | x| < δ = ε, то и | sin x| < ε, т.е. sin x непрерывная функция в любой точке x ∈ R. Аналогично доказывается непрерывность функции cos x в любой точке x ∈ R. Функция tg x = непрерывна в точках, где x + πn, n ∈ Z. Функция ctg x = непрерывна, если x πn,n ∈ Z.

Степенная функция f(x) = x^a. Непрерывность этой функции при x > 0 вытекает из непрерывности сложной функции и представления x^a = e^{a ln x.} Если же функция x^a имеет смысл и для x < 0 (например, x⁴,³√x), то при a > 0 она будет непрерывной для ∀x ∈ R, а при a < 0 – для всех x ∈ R кроме x 0.

28.Дифференцируемость функций. Дифференциал и произв.

О пределение 1. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 ∈ R и пусть x–произвольная точка этой окрестности. Если отношение имеет gредел при x → x0, то этот предел называется производной функции f(x) в точке x₀, и обозначается f ’(x₀): Если ввести обозначения x−x₀ = x, f(x₀+ x)−f(x₀) = y, то получаем еще одну запись определения производной: Если для

н екоторого значения x₀ существуют пределы или то говорят, что при x = x₀

с уществует бесконечная производная или соответственно бесконечная производная определенного знака, равная − или + .В дальнейшем под выражением «функция имеет производную» будем понимать всегда наличие конечной производной, если не оговорено противное. Определение 2. Если функция f(x) определена в некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности точки x₀ и существует конечный или бесконечный (определенного знака) предел

то он называется соответственно конечной или бесконечной правой (левой) производной функции f(x) в точке x₀ и обозначается f ’₊(x₀) (f ’₋(x0)) Правая и левая производные называются односторонними производными. Из теоремы об односторонних пределах следует, что функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки x₀, имеет производную f ’(x₀) тогда и только тогда, когда f ’₊(x0) и f ‘₋(x₀) существуют и f’₊(x0) = f’₋(x0). В этом случае f’(x0) = f’₊(x0) = f’₋(x0).Если функция f(x) определена на некотором промежутке и в каждой его точке существует производная (причем под производной в конце этого промежутка, который принадлежит промежутку, понимается соответствующая односторонняя производная), то она также является функцией, определенной на данном промежутке, ее обозначают f’(x). Теорема 1. Для того чтобы функция f(x) была дифференцируемой в некоторой точке x0, необходимо и достаточно,чтобы она имела в этой точке производную, при этом dy = f’(x0) dx.Доказательство. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x0, т.е y = A· x+o( x), x → 0.Тогда = A + = A. Поэтому производная f’(x0) существует и равна A. Отсюда dy= f’(x0) dx. Теорема 2. Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке. Следствие 1. Если функция в некоторой точке имеет производную, то она и непрерывна в этой точке. Обратим внимание на то, если функция в точке имеет бесконечную производную, то она может быть разрывной в этой точке. Заметим, что утверждение, обратное теореме 2, неверно, т.е. из непрерывности функции f(x) в данной точке не следует ее дифференцируемость.

29.Геометр.смысл. произв. Физ. Смысл. Произв. Рассмотрим задачу о проведении касательной к произвольной плоской кривой. Пусть L – дуга плоской кривой, M₀ –точка этой кривой, M₀M – секущая. Если точка M движется по кривой к точке M₀,то секущая поворачивается вокруг точки M₀ и стремится к некоторому предельному положению M₀T. Определение 4. Касательной к кривой L в точке M₀ называется прямая M₀T, которая представляет собой предельное положение секущей M₀M при стремлении по кривой точки M к точке M₀.Если предельного положения секущей не существует, то говорят, что в точке M₀ провести касательную нельзя. Это бывает в случае, когда точка M₀ является точкой излома или заострения кривой. Пусть кривая L является графиком функции f(x) и точка M₀(x₀, f(x₀)) ∈ L. Предположим, что касательная к кривой в точке M₀ существует. Угловой коэффициент секущей M₀M k = tg = . Если x → 0, то точка M движется по кривой к точке M₀ и секущая M₀M стремится к своему предельному положению M₀T. Таким образом, k = tg α = = =f ’(x0). (1) т.е. если кривая L является графиком функции f(x), то из равенства (1) следует геометрический смысл производной: производная от функции f(x) при x = x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой x . Тогда уравнение касательной y − f(x0) = f’(x0)(x − x0)или y − y0 = f ’(x0)(x − x0) (2).Заметим, что в правой части уравнения (2) стоит дифференциал, поэтому геометрический смысл дифференциала состоит в следующем: дифференциал - это приращение ординаты касательной.физика: Рассмотрим функцию y = f(x), определенную и непрерывную в некоторой окрестности точки x0. Если аргумент x0 функции получает приращение x (положительное или отрицательное), такое, что x0+ x принадлежит той же окрестности точки x0, то соответствующее приращение функции f(x0) = f(x0 + x) − f(x0), средняя скорость изменения функции v_ср = , а мгновенная скорость ее изменения v = =f ’(x0) В этом состоит механический смысл производной, т.е. производная -математическая модель мгновенной скорости процесса, описываемого функцией f(x). В зависимости от содержательной сущности функции можно получить широкий круг математических моделей скорости протекания процессов. Рассмотрим некоторые из них. 1. Пусть материальная точка M движется неравномерно и y = s(t) – функция, устанавливающая зависимость пути от времени t. Тогда мгновенная скорость движения в момент времени t₀ есть производная от пути s по времени t: v = |_t=t0 = =