Учебники и справочники / Обработка результатов наблюдений. Учебное пособие по метрологии

Рекомендуется выбирать нечетное число интервалов. При расчете числа интервалов также следует округлять значение до целого числа. Применение числа интервалов менее 3 не рекомендуется, т. к. это неинформативно /3, 13/

Затем вычисляют ширину интервала h по формуле:

вариационного ряда (размах).

Определяют границы интервалов (например, xmin ; xmin + h - границы

1-го интервала, xmin + h − xmin + 2h – границы 2-го интервала и т. д.), затем определяют частоту попадания в интервалы и середины интервалов.

Упорядоченные значения рекомендуется оформлять таблицей по форме, представленной в виде таблицы 5.2

Таблица 5.2 – Промежуточные значения интервального ряда

5.2 Определение закона распределения результатов измерений

Для определения закона распределения случайной величины необходимо, прежде всего, отнесение ее либо к дискретной, либо к непрерывной.

Большинство измеряемых величин мы считаем непрерывными. В ряде случаев это связано с недостаточной чувствительностью имеющихся СИ, которые не дают возможности проводить измерения путем счета отдельных частиц.

Также следует заметить, что граница между дискретными и непрерывными величинами далеко не так определенна, как это может показаться на первый взгляд. Например, некоторое количество воды, определяемое счетчиком расхода, может рассматриваться как величина непрерывная. Но вода состоит из отдельных молекул, и количество ее может отличаться одно от другого только на целое число молекул, т.е., если бы мы могли считать молекулы, количество воды нужно было бы рассматривать как прерывистую (дискретную) величину.

Случайная величина X может быть полностью охарактеризована с вероятностной точки зрения, если имеется возможность вычислить вероятность появления каждого ее значения. Этим устанавливается закон распределения случайной величины.

61

Дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей, но это неприемлемо для непрерывных случайных величин /6, 23/, т. к. невозможно составить перечень всех возможных значений X , которые сплошь заполняет некоторый интервал (a, b). С этой целью вводится универсальный способ задания любых типов случайных величин в виде функции распределения вероятностей.

Функцией распределения случайной величины называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в

Иногда вместо термина “функция распределения” используют термин “интегральная функция”.

Можно дать более точное (с учетом рассмотренного понятия о F(x)) определение непрерывной случайной величины: случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения F(x) есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной /23/.

Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Для описания распределения вероятности дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

В математической статистике (в том числе и метрологической практике) для описания статистического распределения частот количественного признака X пользуются эмпирической функцией распределения. Эмпирической функцией распределения (функцией

распределения выборки) называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события X < x , т. е.

где nx – число вариант, меньших x ; n – объем выборки.

62

Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F(x) генеральной совокупности определяет

вероятность события X < x , а эмпирическая F(x) определяет относительную

частоту этого же события. Можно сказать, что эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Для наглядности используют графическое представление статистического распределения в виде полигона, гистограммы и многоугольника распределения. Напомним, что полигон представляет собой ломаную кривую, соединяющую середины верхних оснований каждого столбца гистограммы. Он более наглядно, чем гистограмма, отражает форму кривой распределения для непрерывной случайной величины. Полигон частот может быть использован и для дискретной случайной величины. В этом случае он представляет собой ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1; n1 ), (x2 ; n2 ), …, (xk ; nk ), т. е. показывают соответствие между

наблюдаемыми значениями (результатами наблюдений) и соответствующими им частотами появления ni .

Статистическое распределения, представленное многоугольником распределения или гистограммой имеет дифференциальную форму.

Вкачестве функции плотности распределения вероятностей погрешности измерений или ее составляющих следует принимать закон, близкий к нормальному усеченному, при соблюдении следующего условия: имеются основания полагать, что реальная (статистическая) функция плотности распределения — функция симметричная, одномодальная, отличная от нуля на конечном интервале значений аргумента, и другая информация о плотности распределения отсутствует согласно МИ 1317-86 /18/.

Втех случаях, когда нет основания полагать, что указанное выше условие выполняется, следует принимать какую-либо другую аппроксимацию функции плотности распределения вероятностей погрешности измерений.

Принятая аппроксимация считается удовлетворительной при следующих условиях:

а) она позволяет рассчитывать интервальные характеристики погрешности измерений по ее средним квадратическим отклонениям;

б) возможные значения погрешности расчета, обусловленные отличием принятой аппроксимации от реальной функции плотности распределения, лежат в пределах, допустимых для решения данной конечной задачи (цепи) измерений /18/.

При отсутствии сведений о подходящей аппроксимации функции плотности распределения вероятностей погрешности измерений, не могут быть рассчитаны интервальные характеристики погрешности измерений и погрешности испытаний, а также показатели достоверности контроля параметров образцов продукции.

63

Расчет характеристик погрешности измерений, при известных типах средств измерений, должен быть основан на использовании метрологических характеристик средств измерений, нормированных по ГОСТ 8.009-84.

Наряду с указанными в /18/, можно пользоваться и такими характеристиками погрешностей измерений, которые являются функциями характеристик, представленных во втором разделе пособия и в /3/.

В курсовой работе для графического представления экспериментальных данных необходимо, прежде всего, для каждой группы наблюдений (если измерения неравноточные) разбиение их на интервалы. Методика статистической оценки интервальных рядов представлена в разделе 5.1.

Рассмотрим пример определения статистических (эмпирических) функций распределения, выполненный по результатам наблюдений.

На ряде образцов (n = 50) был измерен момент (в килограммометрах). Результаты (после исключения грубых и систематических погрешностей, упорядочения и разбиения выборки на интервалы) представлены таблицей 5.3.

Таблица 5.3 – Промежуточные значения интервального ряда

Представим заданный статистический ряд в виде гистограммы, показанной на рисунке 5.1.

По виду гистограммы, имеющей колокообразную форму, предполагаем, что закон распределения результатов наблюдений в ряде образцов при измерении – нормальный.

По формулам, приведенным ранее, определяем среднеарифметическое и среднеквадратическое отклонения, они равны:

64

1 – гистограмма (по результатам наблюдений); 2 – теоретическая функция

Рисунок 5.1 – Гистограмма результатов измерений

Вычислим дифференциальную функцию распределения f (x) для

середин интервалов. Для этого вычислим значение нормированного аргумента по формуле для каждого интервала:

А затем, пользуясь статистической таблицей (Приложение Г), определим дифференциальную функцию f (ti ).

находим значения дифференциальной функции в выбранных единицах. В случае использования интервалов применяют зависимость

где h – ширина интервала, в нашем случае она равна 0,06. Окончательно все вычисления сведем в таблицу 5.4.

Для построения статистической функции распределения можно воспользоваться формулой для дополнительных вычислений

F1(x0 )= 0;

65

F2 (x1 )= p)1 + F1(x0 )= 0 +0,04 = 0,04

Таблица 5.4 – Вероятностные параметры распределений

1 – теоретическая; 2 – эмпирическая

Рисунок 5.2 – Кривые интегральной функции распределений

66

По виду статистических кривых можно также сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных, хотя для окончательного заключения требуется проверка по критериям согласия (или приближенная идентификация по точечным числовым характеристикам) (раздел 7).

Окончательно результаты по определению вероятностных характеристик отдельных групп наблюдений следует оформлять в виде таблицы по форме, представленной в таблице 5.5.

После обработки всех групп наблюдений, если измерения неравноточные, полученные значения точечных оценок числовых характеристик вариационного ряда следует свести в таблицу следующей формы, показанной в таблице 5.6.

Таблица 5.6 – Результаты измерений в группах наблюдений

67

6 Статистическая обработка результатов наблюдений при неравноточных измерениях

Напомним, что по степени точности измерения делятся на равноточные и неравноточные. Если в процессе проведения измерительного эксперимента могли использоваться различное оборудование (средства измерений, испытаний, контроля и др.), измерения выполняли различные операторы, имела место калибровка оборудования, изменялись параметры окружающей среды (температура, влажность, загрязнение воздуха и т. д), а также измерения выполнялись в разное время (большой интервал времени между измерениями) необходимо убедиться, что измерения являются равноточными.

Другими словами, если отсутствуют сведения о равноточности измерений, то необходимо всю представленную совокупность наблюдений разбить на группы (серии), в пределах которых они являются равноточными.

Поскольку совместная обработка результатов серий возможна при условии, что их значения однородны, что оценивается с использованием методов математической статистики. Определение “однородные” в статистике означает “являющиеся оценкой одного и того же параметра”. Группы наблюдений при измерениях (серии) называются однородными, если состоят из значений, подчиняющихся одному и тому же закону распределения вероятности. В противном случае серии считаются неоднородными. Проверка однородности является обязательной при выборе способа совместной обработки результатов нескольких серий измерений. При такой проверке сравниваются между собой средние арифметические значения серии, дисперсии и рассчитывается доверительный интервал оценок среднеквадратичного отклонения.

6.1 Обработка результатов отдельных групп наблюдений

Группы равноточных наблюдений обрабатываются в последовательности, приведённой в разделах 2-5.

6.2 Проверка гипотезы о неравноточности результатов наблюдений

Ряды результатов наблюдений X j принимаются неравнорассеянными (неравноточными), если их центры распределений X jц. р. являются оценками одного и того же значения измеряемой величины, а оценки их дисперсий Sx2j

незначительно отличаются друг от друга.

Правомочность принятия решения о принадлежности рядов к неравноточным проверяется с помощью дисперсионного анализа. При этом

определяемые центры распределений X jц. р. , СКО Sx2j , являющиеся оценками числовых характеристик распределений отдельных рядов, имеют

68

различия, которые называются случайными факторами. К такого рода случайным влияющим факторам, по которым производится объединение результатов наблюдений по группам (сериям), относятся, как указано ранее, внешние условия (температура, давление, влажность и т. д.), временная последовательность проведения измерений и т. п.

В метрологической практике необходимость сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, самих методов измерений и т. д. Очевидно, предпочтительнее тот прибор и метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т. е. наименьшую дисперсия.

Поскольку на измерительную процедуру действует большое количество факторов, обуславливающих появление как положительных, так и отрицательных отклонений (погрешностей), то примем в качестве закона распределения результатов наблюдений нормальный. Тогда, как известно /23/, центром распределения закона будет выборочное среднее арифметическое значение полученных результатов.

6.2.1 Анализ однородности средних арифметических значений

Если средние арифметические X jц. р. рядов значимо отличаются друг

от друга, то это указывает на появление при измерениях в одном из рядов доминирующего фактора или группы факторов, смещающих центр распределения, т. е. появление систематической погрешности.

Для сравнения проводят две серии опытов при оптимальных для каждого процесса условиях и по полученным результатам рассчитывают среднее арифметическое в каждой серии X I и X II по известной формуле.

Гипотеза о равенстве математических ожиданий двух рядов наблюдений или допустимом различие их оценок проверяется с помощью критерия Стьюдента.

Для этого дисперсии S(2xI ) и S(2xII ) должны быть однородными, что

проверяется по критерию Кочрена или Фишера (методика проверки приведена далее). Затем рассчитывают среднюю квадратичную погрешность

69

Разность X I − X II является случайной величиной и при обычно

имеющемся малом числе измерений следует t-распределению. Для сравнения двух средних арифметических используют критерий Стьюдента:

По таблице 3.2 (раздел 3), в зависимости от принятой доверительной вероятности P (уровня значимости q ) и числа степеней свободы

k = nI + nII −2 находят t(P, k ).

Если наблюдаемое значение критерия Стьюдента оказалось не больше критического, то нет основания отвергнуть выдвинутую ранее гипотезу о допустимом различии оценок средних арифметических.

Другими словами: если t p ≤ t(P, q), то X I = X II = X , т. е. средние однородны.

Если t p ≥ t(P, q), то различие между средними признается значимым, то есть об измерениях говорят, что они не сходятся или не воспроизводятся.

6.2.2 Проверка однородности дисперсий

Если число наблюдений в сериях одинаково, то однородность оценок дисперсий можно проанализировать при помощи критерия Кочрена G (использование этого критерия предпочтительнее, т. к. его распределение найдено точно). Нулевая гипотеза, состоящая в том, что дисперсии нормально распределенных совокупностей равны между собой, подтверждаются, если наблюдаемое значение критерия меньше критической точки /23/, т. е.:

G< Gкр.

Вэтом случае вычисляют отношение максимальной оценки дисперсии

ксумме оценок всех дисперсий

i)

i=1

исравнивают это отношение с критическим значением критерия Кочрена Gкр . ∑S

Следует подчеркнуть, что речь идет об исправленных дисперсиях, т. е. вычисленных после исключения грубых и систематических погрешностей.

70