Учебники и справочники / Обработка результатов наблюдений. Учебное пособие по метрологии

Проверяем согласие по критерию I. Для этого определяем значение d по формуле:

квантили распределения d (после интерполяции):

d0,01 = 0,8731; d0,99 = 0,7226 .

Гипотеза о нормальности распределения по критерию I, при выбранном уровне значимости подтверждается, так как:

сравниваем его с максимальным отклонением. Гипотеза о нормальности распределения по критерию II справедлива, так как в выборке нет ни одной разницы, превышающей значение:

Таким образом, гипотеза о нормальности закона опытного распределения по обоим критериям подтверждается при принятом уровне значимости q ≤ 0,04.

7.3 Проверка нормальности распределения по критерию согласия Колмогорова А.Н.

В качестве меры расхождения между эпирическим и теоретическим законами распределения в критерии Комогорова А.Н. выбрано максимальное значение D модуля разности между эмпирической функцией распределения F *(x) и выбранной теоретической функцией распределения F(x)

При этом Колмогоровым А.Н. доказано, что независимо от вида предполагаемой функции распределения непрерывной случайной

91

величины X в случае неограниченного увеличения числа независимых измерений n вероятность неравенства

D n ≥ λ.

Стремиться к пределу вероятности p(λ), равному

k =−∞

При практическом применении критерия согласия Колмогорова А.Н. величина λ , являющаяся критериальным параметром, принимается равной

λ = D n . Значение D находится после построения на одном графике эмпирической и теоретической функций изображением этих функций и представляет величину D . Затем по вычисленному значению λ по таблице 7.1 определеяется вероятность p(λ) как вероятность того, что за счет

случайных причин максимальное расхождение между эмпирической и теоретической функциями распределения будет не меньше, чем полученное из результатов измерений. Следовательно, если веротность p(λ) достаточно

большая, то гипотезу о соответсвии опытного распределения теоретическому следует рассматривать как правдопобную, не противоречащую опытным данным.

Особенности применения этого критерия согласия рассмотрим на том же примере, которым иллюстрировался порядок использования критерия хиквадрат.

На рисунке 7.1 на одном графике показаны зависимости теоретической (сплошная линия) и эмпирической (штриховая линия) функций распределения погрешности наведения радиотелескопа в пределах абсолютных погрешностей от –8 до +8 угл. с.

Рассмотрение рисунка 7.1 показывает, что при небольшом масштабе трудно определить точку, в которой расхождение между эмпирической и теоретической кривой будет наибольшим (значение D ). При крупномасштабном представлении кривых максимальное расхождение оказывается при значении погрешности ∆ = 0 угл. с, когда D = 0,02 . Находим значение критериального параметра

92

условий (число s ), уменьшающего число степеней свободы распределения хи-квадрат, что ведет при данной величине χ2 к уменьшению вероятности “сходимости” p , как это нетрудно видеть из рассмотрения таблицы значений

хи-квадрат (Приложение Ж). В случае критерия Колмогорова А.Н. подобное “ужесточение” отсутствует, и это обстоятельствопри прочих равных условиях приводит к завышению значений вероятности p(λ). Таким

образом, отличаясь простотой применения, критерий Колмогорова А.Н. уступает критерию хи-квадрат по степени доверия к результатам идентификации законов распределения. Это же обстоятельство определенным образом снимает ограничения на имеющееся число измерений в случае использования критерия хи-квадрат. Во многих случаях число измерений, превышающее 30…40, позволяет использовать их результаты для идентификации закона распределения с помощью критерия хи-квадрат.

Кроме рассмотренных критериев согласия, применяются и другие, например, метод моментов. Так, ранее говорилось, что каждое распределение случайной величины имеет начальные и центральные моменты высших порядков (третьи, четвертые), характеризующие форму закона распределения: асимметричность, остроили плосковершинность и т. д. Метод моментов, в частности, использует понятие контрэксцесса, равного корню квадратному отношению СКО в четвертой степени к четвертму уентральному моменту (µ4 )

известным из математичской статистики значениям контрэксцесса теоретического закона распределения и, таким образом, идентифицировать форму эмпирического закона.

В таблице 7.6 приведены значения контрэксцесса для некоторых законов распределения.

Однако применение метода моментов требует наличия более обширной информации. Известно, что для надежной оценки первого момента (математического ожидания) требуется выборка n ≥ 30 , для оценки вторых моментов - n ≥100 , а при оценке третьих моментов требования к объему выборки становытся реально невыполнимыми (n =1000). Таким образом, применение метода моментов при обычных, небольших выборках (число измерений не превышает 100) практически ограничено.

94

Таблица 7.6 – Основные критериальные параметры законов распределения

95

8 Приближённая идентификация формы и вида закона распределения результатов измерений

При изучении распределений, отличных от нормальных, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики, в частности асимметрию и эксцесс /23/. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю.

В метрологической практике используют эмпирические моменты. Доказано /6, 23/, что начальные и центральные эмпирические моменты являются состоятельными оценками соответственно начальных и центральных теоретических моментов того же порядка.

Все моменты представляют собой некоторые средние значения, причем если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, то моменты называют начальными, а если – от центра распределения, то центральными. Начальные и центральные моменты r-го порядка определяются соответственно по формулам:

При вычислении статических оценок неизвестного параметра – теоретического распределения результатов наблюдений, которые представляют из себя функции от наблюдаемых случайных величин оперируют лишь ограниченными данными (выборкой). Поэтому при вычислении эмпирических моментов усреднение рассматриваемой случайной величины (результата наблюдения) осуществляется через суммирование (арифметических или геометрическое), а не через операцию интегрирования.

Оценки начального момента первого порядка (математическое ожидание) и центрального момента второго порядка (дисперсии) рассмотрены в разделе 2.

Приближенная оценка (как часть этапа индентификации) формы распределения может осуществляться по сочетанию оценок параметров распределения с использованием критериальных значений характеристик распределения, указанных в таблице 3.1 Приложения З.

Оценка первого центрального момента определяется по формуле:

96

Для оценки дисперсии и СКО по экспериментальным данным (как было показано в разделе 2) используется соотношение для несмещенной дисперсии:

Оценка третьего центрального момента µ3 (характеристика момента указывает на асимметрию) характеризует скошенность спадов и

Распределение считается симметричным, если выполняется условие:

где γα – коэффициент асимметрии; σ(*γα ) – оценка СКО коэффициента асимметрии, определяемая по

формуле:

97

Эксцесс закона распределения определяют по формуле:

Идентификация распределения обязательно включает определение показателя формы α , который является функцией эксцесса и находится по графику, показанному на рисунке 8.1.

Рисунок 8.1 – Показатель формы α распределения

Информационными характеристиками распределения являются энтропийное значение погрешности, определяемое как

98

и энтропийный коэффициент, определяющий форму распределения:

99

9 Представление результатов измерений

За результат измерений при статистической обработке выборки, состоящей из многократных наблюдений, принимается координата центра распределения при равноточных измерениях; средневзвешенное значение центров распределений в группах - при неравноточных.

Всилу конечного объёма выборки, наличия неисключенных составляющих погрешностей и различных законов распределения, результат измерения имеет неопределенность.

Зона неопределенности (доверительные границы) генерального среднего устанавливаются погрешностью результата измерения ± ∆.

Границы могут быть заданы как симметричными, так и несимметричными, они зависят от выбранной доверительной вероятности. Чаще используются симметричные границы с двухсторонней вероятностью

P .

За погрешность результата измерения может быть принято: а) только случайная составляющая погрешности; б) систематическая составляющая погрешности;

в) композиция случайной и систематической составляющих погрешностей.

Характеристики погрешности измерений указываются в единицах измеряемой величины (абсолютные) и в процентах (относительные) относительно результатов измерений или истинных значений измеряемой величины.

9.1Определение доверительных интервалов случайной погрешности

Вслучае отсутствия в результатах наблюдений систематических погрешностей или при условии, что отношение неисключенной систематической погрешности θ к оценке Sx СКО результата измерения

соответствует условию:

то за погрешность результата измерения принимается случайная составляющая погрешности:

100