Учебники и справочники / Обработка результатов наблюдений. Учебное пособие по метрологии

появления подозрительного результата в генеральной совокупности чисел n:

“жесткими”. Тогда рекомендуется пользоваться критерием грубой погрешности "k" /4/, зависящим от объема выборки n и принятой доверительной вероятности Р.

Таблица 3.7 – Зависимость критерия грубой погрешности k от объема выборки n и доверительной вероятности Р

Для распределений, отличных от нормального, таких классов, как двух модальных кругловершинных композиций нормального и дискретного распределения c эксцессом ε =1,5 −3,0; островершинных двумодальных; композиций дискретного двузначного распределения и распределения Лапласа с эксцессом ε =1,5 −6,0 ; композиций равномерного распределения с

51

Погрешности в определении оценок S СКО и tгр являются

отрицательно коррелированными, т. е. возрастание СКО S сопровождается уменьшением tгр /3/. Поэтому определение границ грубой погрешности для

законов, отличных от нормального, с эксцессом ε ≤ 6 с помощью критерия tгр является достаточно точным и может широко использоваться на

практике.

Оценки X , S и ε должны вычисляться после исключения подозрительных результатов из выборки. После расчета границ грубой погрешности результаты наблюдений, оказавшиеся внутри границ, возвращаются, а ранее найденные характеристики распределения уточняются.

Для равномерного распределения за границы грубой погрешности можно принять величину ±1,8 S .

Рассмотрим пример применения критериев для исключения грубых погрешностей при измерении скорости ударной волны. Получены результаты, представленные в таблице 3.8.

Таблица 3.8 – Результаты наблюдений

V=3,50 км/с грубую погрешность.

Для графического определения вида закона распределения построим гистограмму. При построении разбиение на интервалы осуществляем таким образом, чтобы измеренные значения оказались серединами интервалов, что показано на рисунке 3.2.

52

По виду гистограммы предположительно идентифицируем опытное распределение нормальным. Вычисляем оценки X и S:

X= 1 ∑n xi = 3,452 км/с; n i=1

Решим задачу с помощью критериев, установленных для нормального распределения.

Проверка по критерию "3σ". Вычислим удаленность подозрительного результата от центра распределения: xiпод − X = 3,50 −3,452 = 0,048 км/с.

Определим границу погрешности: 3S = 3 0,019 = 0,057 км/с.

53

Проверка по критерию Романовского. Определяем характеристики распределения без учета подозрительного результата:

X = 3,450 км/с; S = 0,015 км/с.

По таблице 3.2 находим коэффициент Стьюдента при объеме выборки k = n −1 =19 и доверительной вероятности P = 0,95; t0,95 = 2,093. Наличие

грубой погрешности подтверждается, т. к.:

xiпод − Xц. р. = 0,05 км/с > t0,95 S = 0,03 км/с.

Проверка по критерию Шовене. При нахождении характеристик

По таблице В.1 Приложения В определяем вероятность выхода результатов за квантиль ± z :

P(2,526 S < xiпод − X )= (1−0,9943) 2 = 0,0114 .

Тогда ожидаемое число наблюдений с результатом xi > 3,50 км/с.

nож = n P(2,526 S < xiпод − X )= 20 0,0114 = 0,228 .

Так как nож < 0,5, то приходим к выводу о наличии грубой погрешности в результате наблюдения xi = 3,50 км/с.

Поскольку большинство критериев (3 из 4-х рассматриваемых) показали наличие грубой погрешности, то результат наблюдения необходимо исключить из выборки.

54

4 Исключение систематических погрешностей измерений

Основные способы исключения систематических погрешностей сводятся к устранению их до начала измерения, в процессе измерения, внесения поправок в результат измерения, а также оценке границ систематических погрешностей /1/.

Устранение до начала измерения преследует цель: предварительную проверку всех приборов по эталонному образцу и проверку соединения отдельных элементов. Устранение влияния температуры, например, осуществляется различными способами термостатирования. При этом не всегда удается естественным путем сохранить температуру точно 20 0С. Тогда ее стабилизируют на уровне (30-40) 0С с использованием равномерного подогрева всего помещения или способом кондиционирования воздуха. Затем используют поправочные коэффициенты. Устранение влияния магнитных полей проводят с помощью магнитного экранирования. Устранение вибраций проводят с помощью губчатой резины и эластичных подвесок.

Устранение в процессе измерения – это наиболее эффективный прием исключения погрешностей. Используют способ замещения, когда измеряемый объект замещают эталонной моделью, например, взвешивание на рычажных весах по способу Борда. На одну чашку весов кладут взвешиваемую массу, на другую - специальный груз (например, дробь), до уравновешивания весов. Затем взвешиваемую массу снимают и на ее место устанавливают гири до достижения равновесия. Суммарный вес гирь более точно соответствует взвешиваемой массе. Способ замещения широко используется при измерении электрических параметров сопротивления, емкости, индуктивности с использованием мостовой схемы.

Применяют также способ противопоставления, когда измерения проводят два раза таким образом, чтобы причина систематической погрешности при втором измерении была противоположна по знаку по сравнению с первым измерением. Например, второе взвешивание массы проводят на другой чашке весов. Затем определяется среднее значение результатов двух взвешиваний. Аналогично определяется сопротивление равноплечного моста.

Внесение поправок в результат измерения применяется, если в результате поверки обнаружилось, что, например, вольтметр дает заниженные показания. Тогда определяется поправочный коэффициент и результат измерения умножается на этот коэффициент. Обычно на разных диапазонах измерения поправочные коэффициенты разные. Иногда таблицу поправочных коэффициентов завод-изготовитель прилагает к паспорту прибора.

Перечисленные выше способы устранения погрешностей не исключают полностью систематические погрешности (существует ее остаток

– неисключенная систематическая погрешность). Поэтому выполняется оценка границ систематических погрешностей. Это связано с тем, что

55

причины их возникновения самые разнообразные и не всегда правильно учитываемые. Даже если есть поправки к показанию специального лабораторного прибора, то они разные для разных диапазонов измерения не только по величине, но и по знаку.

Если действительное показание прибора при проведении эксперимента может иметь широкий диапазон, то принимают систематическую погрешность в пределах максимальной погрешности по паспорту завода – изготовителя.

Постоянные систематические погрешности измерений могут быть выявлены (обнаружены) путем сравнения результатов измерений с другими, полученными более точными методами и средствами.

Постоянная составляющая систематической погрешности не может быть выявлена, ни тем более найдена методами совместной обработки результатов. Поэтому задача исключения переменной систематической погрешности может решаться как при отсутствии, так и при наличии постоянной систематической погрешности. Если во всех результатах наблюдений содержится постоянная систематическая погрешность, допускается исключать ее после вычисления среднего арифметического неисправленных результатов наблюдений.

Переменная систематическая погрешность, как было показано выше (наряду с грубыми погрешностями) представляет проблему, которая не всегда решается однозначно. Она может быть выявлена весьма сложными методами дисперсионного анализа /3, 4/. Однако для решения инженерных задач достаточно применить графический метод. Для этого по оси ординат на график наносят результаты наблюдений, а по оси абсцисс - моменты времени его получения (или порядковый номер результата при равномерном во времени их получении).

Для наглядности точки соединяют последовательно прямыми линиями (получают ломанную кривую).

На графике проводят плавную кривую (выполняют аппроксимацию), которая выражает тенденцию изменения результата измерения (если она видна) или констатируют, что такая тенденция не наблюдается, и тогда считают переменную систематическую погрешность практически отсутствующей (несущественной).

Покажем это на примере: Одно и то же изделие было подвергнуто контролю 30 раз. Через примерно равные промежутки времени были сделаны выписки из журнала контролера, в котором фиксировались результаты наблюдений. В порядке, в каком они были получены, результаты образовали следующий ряд значений линейного размера (в миллиметрах):

40,15; 40,15; 40,15; 40,17; 40,16; 40,16; 40,16; 40,15; 40,16; 40,16; 40,17; 40,17; 40,17; 40,17; 40,15; 40,18; 40,19; 40,18; 40,18; 40,18; 40,19; 40,19; 40,19; 40,18; 40,21; 40,19; 40,18; 40,19; 40,19; 40,19.

56

Требуется выполнить обработку результатов по исключению переменной систематической погрешности.

Первичная обработка последовательности результатов наблюдений одной и той же величины состоит в исключении переменной систематической погрешности. Если приведенные результаты представить графически, как описано выше, то можно увидеть на графике прогрессирующую, линейно возрастающую по модулю погрешность. График показан на рисунке 4.1.

Модуль переменной составляющей систематической погрешности

где ∆с – разность между наибольшими и наименьшими значениями результатов наблюдений;

n– общее число результатов;

i – порядковый номер измерения.

Разность ∆с определяется по аппроксимирующей прямой. В данном примере ∆с = 0,05 мм, тогда δi = ∆nс = 030,05 i .

Округлив значение δi до сотых долей миллиметра (точность получения результатов), её исключают из результатов измерений, т. е.:

где i = −δi – поправка, вносимая в каждый результат.

Как видно, поправка представляет собой погрешность, взятую с обратным знаком.

Внеся исправления, получают новую последовательность результатов:

40,15; 40,15; 40,15; 40,16; 40,15; 40,15; 40,15; 40,14; 40,15; 40,14; 40,15; 40,15; 40,15; 40,15; 40,13; 40,15; 40,16; 40,15; 40,15; 40,15; 40,16; 40,15; 40,15; 40,14; 40,17; 40,15; 40,14; 40,14; 40,14; 40,14.

Сгруппировав исправленные результаты, получают вариационный ряд, подлежащий статистической обработке.

57

1 – первичная выборка; 2 – после внесения поправки на систематическую погрешность; 3 – линейный (график 3) – аппроксимирующая прямая

Рисунок 4.1 – Графическое представление результатов наблюдений

58

5 Статистическая обработка результатов измерений

После исключения результатов с грубыми погрешностями и внесения поправок на систематическую погрешность проводят математикостатистическую обработку исправленных результатов измерений.

5.1 Определение точечных оценок исправленных результатов измерений

Для этого по формулам, приведенным в разделе 2, определяют точечные оценки координаты центра распределения и СКО результатов наблюдений и измерений. Точечные оценки могут отличаться от определенных ранее, так как может уменьшиться число результатов (если имеются грубые погрешности), а при наличии систематической составляющей погрешности, расчет точечных оценок должен быть выполнен по исправленным (после исключения систематической погрешности) результатам наблюдений.

Для расчета среднеквадратического отклонения среднего арифметического значения (результата измерений) может быть так же использована формула Питерса:

где ∆xi – отклонения отдельных, полученных при измерениях значений от среднего арифметического.

Если n<4 вместо формулы (5.1) для оценки Sx используют приближенную формулу:

Если количество измерений достаточно большое (не менее 40-50), то требуется систематизация исходных данных и разделение вариационного ряда на интервалы.

Для интервальных вариационных рядов используют формулы:

i=1

где xio – значение измеряемой величины в средине k-го интервала;

k – количество интервалов, на которые разбит вариационный ряд.

59

где p)i – статистическая вероятность попадания i-го результата в

данный интервал.

Она находится по формуле:

где mi – частота попадания результатов в каждый k-й интервал.

Причем, следует заметить, что S* - смещенная оценка СКО результатов наблюдений. Для определения несмещенной оценки необходимо либо воспользоваться таблицей 1.1, либо получить результат, используя формулу:

Число интервалов определяют, пользуясь формулой Старджесса:

или

Можно использовать приведенные в таблице 5.1 рекомендуемые числа интервалов k, определяемые в зависимости от числа экспериментальных данных n.

Таблица 5.1 – Рекомендуемое число интервалов

60