15 Второй замечательный предел

(1) =(1+ (2) (1+х) - нер-во Бернулли

(3) = = (4) , (5) , (7) - второй замечательный предел.

16 Посл-ти, частичные пределы. Предельные точки посл-ти, верхний и нижний частичные пределы.

Пусть задана посл-ть { }. Зададим подпосл-ть исходной посл-ти, где и . Опр1 Если существует предел подпосл-ти ( (1), который называется частичным пределом исходной посл-ти { }. { } – множество частичных пределов. Опр2 Точка х бесконечной прямой называется предельной точкой посл-ти { }, если в любой -окрестности этой точки имеется бесконечно много элементов посл-ти { }. Лемма. Если х – предельная точка посл-ти { }, то из этой посл-ти можно выделить подпосл-ть , сходящуюся к числу х. Док-во: Выберем элемент из посл-ти { }, во второй окрестности - такой, что . В третьей окрестности такой, что и т.д. В результате подпосл-ть посл-ти { }, которая сходится к х, т.к. . Опр3 Наибольшая предельная точка посл-ти { } называется верхним пределом этой посл-ти и обозначается символом = . У всякой ограниченной посл-ти существует верхний предел. Опр4 Наименьшая предельная точка посл-ти { } называется нижним пределом этой посл-ти ( = ). У всякой ограниченной посл-ти существует и нижний предел. Вывод: у всякой ограниченной посл-ти существует и верхний, и нижний пределы.

17 Теорема о существовании сходящейся подпосл-ти (Больцано-Вейерштрасса)

Теорема Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпослед-ть. Док-во: Т.к. посл-ть ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку х. В таком случае из этой посл-ти можно выделить подпосл-ть, сходящуюся к точке х. Замечание1 Из любой ограниченной посл-ти можно выделить монотонную подпослед-ть. В самом деле, в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из любой ограниченной посл-ти можно выделить сходящуюся подпосл-ть, а из этой подпослед-ти можно выделить монотонную подпослед-ть. Замечание2 Пусть { } – ограниченная посл-ть, элементы которой находятся на сегменте [a;b]. Тогда предел с любой сходящейся подпоследовательности также находится на сегменте [a;b]. Действительно, т.к. то выполняются нер-ва (из следствия: если все элементы сходящейся посл-ти { } находятся на сегменте [a;b], то и ее предел с также находится на этом сегменте). Теорему Больцано-Вейерштрасса нельзя распространять на неограниченные посл-ти.

18 Критерий существования предела числовой посл-ти через верхний и нижний пределы.

Теорема Для того, чтобы посл-ть { } была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и чтобы ее верхний и нижний пределы и совпадали. Док-во: 1)Необходимость: Пусть посл-ть { } сходится. Тогда она ограничена и имеет единственную предельную точку. Таким образом = . 2)Достаточность: Т.к. = =х, то интервал совпадает с окрестностью точки х, т.е. число х является пределом посл-ти { }.

19 Понятие фундаментальной посл-ти. Критерий Коши существования предела числовой посл-ти.

Опр Посл-ть { } называется фундаментальной, если для любого положительного найдется номер N такой, что для всех номеров n, удовлетворяющих условию n N, и для всех натуральных чисел p (p=1,2,…) справедливо нер-во . Из определения фундаментальной посл-ти следует: для любого >0 можно указать такой номер N, что для всех натуральных р (p=1,2,3,…) выполняется нер-во , которое и означает, что в -окрестности элемента находятся все элементы посл-ти, начиная с номера N. Отмеченное свойство позволяет установить ограниченность фундаментальной посл-ти. Теорема (критерий Коши) Для того чтобы посл-ть { } была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Док-во: 1)Необходимость: Пусть посл-ть { } сходится и х – ее предел. Требуется доказать, что эта посл-ть является фундаментальной. Возьмем любое >0. Из определения сходящейся посл-ти вытекает, что для найдется номер N такой, что при n N выполняется нер-во . Если р – любое натуральное число, то при n N выполняется нер-во . Т.к. модуль суммы двух величин не больше суммы их модулей, то из последних двух неравенств получим, что при n N и для всех натуральных чисел р . Тем самым фундаментальность послед-ти { } установлена. 2)Достаточность: Пусть { } – фундаментальная посл-ть. Требуется док-ть, что эта посл-ть сходится. Для этого достаточно док-ть ограниченность посл-ти { } и равенство ее верхнего и нижнего пределов и . Ограниченность уже установлена выше. Для док-ва равенства верхнего и нижнего пределов и воспользуемся свойством фундаментальной посл-ти: для любого >0 можно указать элемент такой, что вне интервала ( - , + ) находится не более чем конечное число элементов посл-ти. Интервал ( - , + ) содержит интервал ( , ), и поэтому - 2 , откуда, в силу произвольности , = . Тем самым сходимость посл-ти установлена.