5 Арифметические операции над беск. Десят. Дробями.

Опр суммы. а и b – вещественные положительные числа. Пусть и - какие угодно рацион. числа, между которыми заключено вещ. число а (т.е. а ), а и - какие угодно рацион. числа, между которыми заключено вещ. число b (т.е. ). Тогда суммой вещ. чисел а и b мы назовем такое вещ. число х, которое заключено между всеми рац. числами + и + . + х + . Опр произведения. а и b – положительные числа. Обозначим через , , , любые положительные рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам а и . Произведением положит. вещ. чисел а и b назовем вещ. число х, удовлетворяющее неравенствам х . Опр разности. Назовем разностью вещественных чисел а и b вещ. число с такое, что с+b=a. Убедимся в том, что такой разностью является число с=a+b’, где b’ – число противоположное b. c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a. Опр частного. Для любых двух вещ. чисел а и b (b 0) существует и притом только одно вещ. число с, удовлетворяющее условию cb=a. Это число с называется частным чисел а и b.

6 Вложенные отрезки и св-во непрерывности веществ. Оси. Веществ. Числа и числовая ось.

Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков [a1,b1],[a2,b2],…,[an,bn],… Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл.: 1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. [an+1,bn+1][an,bn], n=1,2,…; Теорема Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единую т-ку с принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех отрезков к которой они стягиваются. Док-во {an}-посл-ть левых концов отрезков явл. монотонно не убывающей и ограниченной сверху числом b1. {bn}-посл-ть правых концов монотонно не возрастающей, поэтому эти посл-ти явл. сходящимися, т.е. сущ-ют числа с1=lim(n)an и с2=lim(n)bn => c1=c2 => c - их общее значение. Действительно имеет предел lim(n)(bn-an)= lim(n)(bn)- lim(n)(an) в силу условия 2) o= lim(n)(bn-an)=с2-с1=> с1=с2=с

Ясно что т. с общая для всех отрезков, поскольку n ancbn. Теперь докажем что она одна. Допустим что  другая с‘ к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые не пересекающиеся отрезки с и с‘, то с одной стороны весь “хвост” посл-тей {an},{bn} должен нах-ся в окрестностях т-ки с‘‘(т.к. an и bn сходятся к с и с‘ одновременно). Противоречие док-ет т-му. Б) (это беск. десятичная дробь) Числа, представимые этими дробями, называются вещественными. R – множество вещ. чисел. Числовая ось – прямая, на которой выбраны определенная точка О (начало отсчета), масштабный отрезок ОЕ и положит. направление.

7 Счетность множества рациональных чисел

1°Всякое множество, эквивалентное множеству всех натуральных чисел 1,2,3,…,n,… будем называть счетным. По-другому множество А называется счетным, если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и элементами множества натуральных чисел N. Из определения счетного множества вытекает, что все элементы этого множества можно занумеровать. Примером счетного мн-ва может служить мн-во четных положительных чисел 2,4,6,…,2n,… Опр. Мощность мн-ва натур. чисел N называют мощностью счетного множества. Теорема Кантора. Мн-во всех рациональных чисел счетно, а всех действительных чисел несчетно. Итак, счетными являются следующие множества: мн-во натур. чисел N; мн-во всех рац. чисел Q; мн-во целых чисел Z; мн-во четных натур. чисел. Теорема. Мн-во мощности континуума не эквивалентно счетному мн-ву. (Всякое множество, эквивалентное множеству всех веществ. чисел интервала (0;1) называется множеством мощности континуума) Док-во: Достаточно док-ть, что мн-во всех вещественных чисел интервала (0;1) нельзя занумеровать. Предположим, что все вещественные числа интервала (0;1) можно занумеровать. Тогда, записывая эти числа в виде беск. десят. Дробей, получим послед-ть: Рассмотрим теперь вещ. число где - любая цифра, отличная от и 9; - любая цифра, отличная от и 9 и вообще - любая цифра, отличная от и 9. Т.к. число х не содержит после запятой нулей и девяток, то это число к рациональным числам, представимых двумя способами в виде беск. десят. дробей. Но в таком случае число х заведомо отлично от всех чисел ибо совпадение числа x с каким-либо означало бы совпадение и .