1 Понятие мн-ва и отображения. Подмножества. Равные мн-ва. Операции над мн-вами.

Множество – это совокупность объектов (элементов), обладающих заданным свойством.

A, B, C, X, Y…(множества)

a, b, c, x, y…(элементы)

A={a, b, c…}

Множества, не содержащие элементов, называются пустыми (Ø).Пусть X, Y - два непустых множества. Пусть каждому элементу Ұ x X по некоторому закону y Y.

То говорят, что на множестве X задано отображение f во множестве Y. f:X Y (1)

y=f(x), x X (2).Опр.1 Если любой элемент A принадлежит B, то A называется подмножеством B (А В)Следствие. 1) А А (всякое подмножество является своим множеством).2) Ø А пустое подмножество является любым подмножеством.Опр.2 Если А В и y B: y A, то А называется собственным подмножеством В.Опр.3 Множества А и В называются равными (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов А=В А В и В А.Опр.4 Сумма (или объединение) А и В есть множество, включающее в себя все элементы А или все элементы В. А В={х А или х В}

Опр.5 Произведение (пересечение) А и В называется множество, принадлежащее А и В одновременно. А В={x, х А и х B}

Св-во: А Ø=А

А Ø= ØОпр.6 Разностью множеств А и В (А\В) называется множество элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В. А\В={x/ х А, x B}

В частности, если А – подмножество некоторого основного множества Т, то разность Т\А обозначается символом и называется дополнением мн-ва А до мн-ва Т.

2 Взаимно однозначные отображения. Конечные, счетные и несчетные множества. Мощность множества.

Пусть имеются множества X, Y. F: x y

1. G – образ Е при отображении f: x y

2. y G ! х Е f(x)=y

3. E – прообраз G при отображении f: x y

4. Существует взаимно однозначное соответствие между Е и G f: Е G f : G F

Опр.1 f: x y называется взаимно однозначной, если х Х; у У f(x)=y и у У ! x X: f(x)=y

y=f(x), x X x f (y); y Y Опр.2 Мн-во А называется КОНЕЧНЫМ, если существует такое натур. число n, что между элементами мн-ва А и элементами мн-ва {1,2,3…,n-1,n} можно установить взаимно однозначное соответствие:

Указанное соответствие называют эквивалентностью А~{1,2,…,n} Пустое мн-во по определению считается конечным. Мн-ва, не являющиеся конечными, называются бесконечными.Опр.3 Мн-во натур. чисел N называют счетным, а его мощность – мощностью счетного мн-ва.

Мн-во А называется счетным, если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами этого мн-ва и элементами мн-ва N.Всякое мн-во, эквивалентное мн-ву всех веществ. – мн-во мощности континуума.Мн-во А называют несчетным или континуальным мн-вом, если его мощность больше мощности мн-ва N. Опр.4 Два мн-ва, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соотв-вие, называются равномощными или эквивалентными. Замечание. Если мн-во А равномощно мн-ву В, а мн-во В равномощно мн-ву С, то и мн-во А равномощно С. Теорема Кантора. Мн-во всех рац. чисел счетно, а всех действит. Чисел несчетно. Мн-во натур. чисел N и мн-во всех четных нат. чисел равномощны. След-но, мн-во четных нат. чисел счетно.