Билет №1.

Основные кинематические характеристики движения мт.

Кинематика точки — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.

Материальная точка (М.Т.) — тело, размерами которого по сравнению характерными расстояниями данной задачи можно пренебречь.

Движение любого объекта в кинематике изучают по отношению к некоторой системе отсчета, включающей:

1-Тело отсчета;

2-Систему измерения положения тела в пространстве (систему координат);

3-Прибор для измерения времени (Часы).

Вектор перемещения и путь.

В ектором перемещения точки за промежуток времени от до называется приращение радиуса-вектора этой точки за рассматриваемый промежуток времени:

.

Вектор перемещения направлен вдоль хорды, стягивающей соответствующий участок траектории точки, из положения движущейся точки в момент времени в ее положение в момент времени . Поэтому во всех случаях, кроме прямолинейного движения точки, модуль вектора перемещения меньше длины пути точки за тот же промежуток времени.

Длиной пути называется расстояние , пройденное точкой за рассматриваемый промежуток времени и измеряемое вдоль траектории в направлении движения точки. Иначе говоря, длина пути точки равна сумме длин всех участков траектории, пройденных точкой за рассматриваемый промежуток времени. Длина пути не может быть отрицательной.

1. Скорость. Скорость- векторная физическая величина, служащая для характеристики направления и быстроты движения точки в механике. Средней скоростью точки в промежутке времени от до называется вектор , равный отношению приращения радиуса-вектора точки за этот промежуток времени к его продолжительности :

Средняя скорость направлена так же, как вектор перемещения , то есть вдоль хорды, стягивающей соответствующий участок траектории точки.

Скоростью точки в момент времени называется вектор , равный первой производной по времени от радиуса-вектора этой точки:

.

Вектор можно разложить по базису , то есть на три составляющие по осям прямоугольной декартовой системы координат.

. .

Если направление вектора скорости точки не изменяется, то траектория точки- прямая линия. При равномерном движении точки остается постоянным модуль ее скорости , а путь, пройденный точкой за промежуток времени от до , .

3. Радиус кривизны траектории.

.

4. Ускорение.

Ускорение- векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости .

Ускорением называется вектор , равный первой производной по времени от скорости этой точки. Ускорение точки также равно второй производной по времени от радиуса-вектора этой точки:

.

Разложение ускорения точки по базису , то есть на составляющие по осям прямоугольной декартовой системы координат, имеет вид:

, где

, , .

Здесь , , - компоненты скорости точки, а - координаты точки в рассматриваемый момент времени.

Если траектория точки- плоская кривая, то ускорение точки лежит в этой плоскости. В общем случае траектория точки- пространственная кривая, а ускорение лежит в соприкасающейся плоскости. В соприкасающейся плоскости есть два избранных направления- касательной к траектории (орт ) и главной нормали (орт ). Поэтому вектор удобно разложить на две составляющие вдоль этих направлений, то есть по базису , n:

Составляющая называется касательным или тангенциальным ускорением точки, а составляющая - нормальным ускорением точки.

Для нахождения значений и компонент вектора воспользуемся выражением для скорости точки . Следовательно,

.

.

При перемещении по траектории на малое расстояние единичный вектор касательной поворачивается на угол . Из равнобедренного треугольника векторов видно, что ввиду малости , а по направлению вектор совпадает с ортом главной нормали . Таким образом: .

Равнопеременное движение материальной точки.

Движение точки называется равнопеременным, если в этом движении , то есть за равные промежутки времени модуль скорости точки изменяется на одинаковые величины.

и . , , .

.

Так как =const, то

Так как , то зависимость от времени координаты какой-либо точки тела имеет вид:

, где и значения и в момент начала отсчета времени (t=0).

Билет №2.

Движение твердого тела, при котором все точки прямой АВ, жестко связанной с телом остаются неподвижными, называется вращением тела вокруг неподвижной оси. Прямая AB называется осью вращения тела.

Для описания вращательного движения тела неудобно пользоваться такими понятиями кинематики точки, как перемещение, пройденный путь, скорость и ускорение точки. В этом случае мерой перемещения всего тела за малый промежуток времени служит вектор элементарного поворота тела. По модулю он равен углу поворота тела вокруг оси за время и направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта: из конца вектора поворот тела виден происходящим против хода часовой стрелки.

Кинематической характеристикой направления и быстроты вращения служит угловая скорость тела, равная отношению вектора элементарного поворота тела к продолжительности этого поворота:

, , , . .

.

.

Связь угловых и линейных величин.

1). 2).

Пусть материальная точка движется по окружности радиуса R. Тогда

. Разделим левую и правую части уравнения на

. Векторы взаимно перпендикулярны. Сместим все векторы в одну точку (точка А).

,

, .

Билет №3.

Поступательное: Вращательное: Сложное:

Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела движутся одинаково. При поступательном движении любая прямая, проходящая через любые две точки тела, остается параллельной самой себе. В случае поступательного движения тела достаточно знать движение какой-либо одной из его точек, а само тело рассматривать как материальную точку.

Вращательным называют такое движение твердого тела, при котором две какие-нибудь точки принадлежащие телу, остаются во все время движения неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки лежащие на оси так же неподвижны.

При сложении двух поступательных движений результирующее движение также является поступательным и скорость результирующего движения равна сумме скоростей составляющих движений. Сложение вращений тв. тела вокруг пересекающихся осей. Ось вращения, положение которой в пространстве изменяется со временем назыв. мгновенной осью вращения тела. Вектор угловой скорости – скользящий вектор, направленный вдоль мгновенной оси вращения. Абсолютная угловая скорость тела = геометрической сумме скоростей составляющих вращений – правило параллелограмма угловых скоростей.

Скорости точек твердого тела в сложном движении.

По-прежнему рассматриваем движение тела относительно двух систем отсчета, когда известны: положение точки B₂ в связанной с телом системой координат, определенное радиус-вектором ρ₂; скорость V_O1 начала подвижной системы координат O₁x₁y₁z₁относительно неподвижной системы координат Oxyz (рис. 110) и угловая скорость ω₁ вращения подвижной системы координат в базовой системе координат с началом в O₁; скорость V_O2 начала связанной с телом системы координат в подвижной системе координат, угловая скорость ω₂ вращения твердого тела и связанной системы координат в базовой системе координат с началом в O₂. На рис. 110 базовые системы координат O₁x*₁y*₁z*₁, O₂x*₂y*₂z*₂ и связанная с телом система координат O₂x₂y₂z₂ не показаны.

Заметим также, что, так как оси поступательно движущихся базовых систем координат при движении остаются параллельными осям неподвижной системы координат, то проекции вышеуказанных векторов скоростей и угловых скоростей на оси базовых систем координат будут равны соответствующим проекциям на оси неподвижной системы координат. Кроме того, так как параметры сферического или углового движения не зависят от поступательного движения, то угловые скорости вращения подвижной системы координат и тела в базовых системах координат будут соответствовать угловым скоростям вращения в неподвижной системе координат.

Определим абсолютную скорость точки M тела. По теореме о сложении скоростей точки, участвующей в сложном движении,

(1)

Для определения относительной скорости точки останавливаем подвижную систему координат, принимая V_O1 = 0 и ω₁ = 0, и находим скорость точки M в подвижной системе координат по формуле скорости точки свободного твердого тела:

(2)

Для определения переносной скорости точки останавливаем твердое тело в подвижной системе координат (вмораживаем его в подвижную систему координат), принимая V_O2 = 0 и ω₂ = 0 , и находим скорость точки M в неподвижной системе координат по формуле скорости точки свободного твердого тела:

(3)

где r₁ - радиус-вектор, определяющий положение точки M в подвижной системе координат; O₁O₂ - вектор определяющий положение начала системы координат, связанной с телом, в подвижной системе координат (рис. 110).

Подставляя (2) и (3) в выражение (1), после имеем

(4)

где V_O2O1 - скорость вращения точки O₂ вокруг точки O₁, равная

(5)

Обозначая в выражении (4) следующие суммы векторов как

(6)

получаем

(7)

Из (7) следует, что сложное движение тела при определении скоростей его точек мы представили одним результирующим движением, состоящим из движения полюса O₂ со скоростью V₂ и вращения вокруг полюса с угловой скоростью Ω, которую часто называют абсолютной угловой скоростью.

Запишем выражения (4) и (7) в ином виде. Для этого записываем (5) как

(8)

Подставляя (8) в выражение (4), получаем

(9)

где m_O2(ω₂) - момент вектора угловой скорости тела относительно полюса, равный нулю, так как линия действия ω₂ проходит через точку O₂.

Можно распространить эти результаты и на движение твердого тела относительно n подвижных систем отсчета или n подвижных систем координат, последняя из которых - O_nx_ny_nz_n жестко связана с телом. Добавляя каждый раз к первой подвижной системе координат по одной системе координат и, вычисляя каждый раз абсолютную скорость, имеем

(10)

Так как моменты векторов угловых скоростей относительно центра или точки O_n являются скоростями, возникающими за счет переносных вращений начала O_n связанной системы координат вместе с подвижными системами координат, обозначаем их сумму как

(11)

а их сумму со скоростями начал подвижных систем координат обозначаем как

(12)

Сумму угловых скоростей называем по-прежнему абсолютной угловой скоростью и обозначаем ее как

(13)

Учитывая это, выражение (10) можно записать в двух следующих видах:

	(14)
	(15)

Из (14) следует, что при определении скоростей точек твердого тела его сложное движение относительно n подвижных систем координат можно представить в виде результирующего движения, которое состоит движения полюса O_n со скоростью V_n и вращения тела и связанной с ним системой координат O_nx_ny_nz_n вокруг полюса с абсолютной угловой скоростью Ω_n (рис. 111).

Выражение (15) подтверждает, что векторы угловой скорости являются скользящими векторами. Из выражений (14) и (15) следуют аналогии между кинематикой и статикой. Мы видим, что векторы угловых скоростей, образующие произвольную систему скользящих векторов, точно так же, как силы по основной теореме статики, приводятся к одному центру O_n. Абсолютная угловая скорость Ω_n, равная сумме угловых скоростей, является главным вектором, а вектор V_ω, равный сумме моментов угловых скоростей относительно центра приведения, является главным моментом системы угловых скоростей. То есть вектор угловой скорости в кинематике является аналогом силы в статике со всеми вытекающими отсюда аналогиями между кинематикой и статикой. В частности, мы уже показали аналогию между приведением угловых скоростей к центру в кинематике с теоремой Пуансо в статике. Можно сформулировать правило параллельного переноса вектора угловой скорости в кинематике по аналогии с леммой о параллельном переносе силы в статике и т.д. и т.д.

Билет №4.

I закон Ньютона: Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерно прямолинейно движется до тех пор, пока взаимодействие с другими телами не вынудит его изменить это состояние. Отсюда следуют 2 утверждения:

1. все тела обладают свойством инертности (то есть сохраняют состояние покоя или равномерного прямолинейного движения).

2. В природе существует хотя бы одна инерциальная система отсчета (ИСО), в которой тело в отсутствие взаимодействия покоится или движется равномерно прямолинейно.

Условия применимости I закона Ньютона:

- тело не деформируется, то есть абсолютно твердое

- тело движется в отсутствие внешних воздействий поступательно, а может еще и равномерно вращаться по инерции.

Инерциальные системы отсчета- такие системы отсчета, по отношению к которым выполняется закон инерции.

Пример: Опыты показали, что с очень большой степенью точности можно считать инерци­альной гелиоцентрическую систему отсчета. Начало координат этой системы находится в центре масс Солнечной системы, а оси проведены в направлениях трех удаленных звезд, выбранных, например, так, чтобы оси системы координат были взаимно перпендикулярны. Лабораторная (земная) система отсчета неинерциальна главным образом из-за суточного вращения Земли. Однако это вращение очень мед­ленное. Поэтому в большинстве практических задач эффекты, которые обусловлены суточным вращением Земли, оказываются пренебрежимо малыми, так что лабораторную систему отсчета можно с достаточной степенью точности считать инерциальной.

Неинерциальные системы отсчета- такие системы отсчета, по отношению к которым закон инерции не выполняется.

Пример: тела, лежащие неподвижно на гладком полу каюты на корабле, который идет равномерно и прямолинейно по спокойной воде, могут прийти в движение по полу без всякого воздействия на них со стороны других тел. Для этого достаточно, чтобы корабль начал изменять курс или скорость хода, т. е. начал двигаться с ускорением.

II закон Ньютона: Сила- это количественная мера взаимодействия данного тела с другими предметами. Из опыта следует, что:

1. Ускорение прямо пропорционально силе .

2. Ускорение обратно пропорционально массе , -мера инертности тела.

Значит, ., зависит от выбора системы единиц и =1.

.

I II закон Ньютона: Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными в противоположные стороны вдоль соединяющей эти точки прямой.

Импульс.

В ньютоновской механике масса материальной точки не зависит от времени , а ускорение , где - скорость точки. Поэтому можно записать:

- II закон Ньютона в дифференциальной форме.

или

Вектор , равный произведению массы материальной точки на ее скорость, называется импульсом материальной точки.

Скорость изменения импульса тела пропорциональна силе, действующей на тело.

, (где -импульс тела, - импульс силы).

Закон изменения импульса: