Варианты заданий

1. Сформировать таблицу экспериментальных данных. Построить диаграмму функции , полученную в результате «эксперимента». В отчете отобразить блок-схему получения «экспериментальных» значений.

2. Найти наилучшую линейную аппроксимацию:

для табулированной функции , составив и решив систему уравнений для коэффициентов и . Найти суммарную ошибку и коэффициент корреляции R. Составить блок-схему вычислительного процесса.

3. Найти наилучшую параболическую аппроксимацию

Для табулированной функции , составив и решив систему уравнений для коэффициентов , и . Найти суммарную ошибку . Составить блок – схему вычислительного процесса.

4. Построить диаграммы полученных аппроксимаций на основе новых таблиц теоретических данных в том же диапазоне х, но с более мелким шагом (количество точек выбрать не менее 300, чтобы точки на диаграмме слились в линию и параболу) и сравнить суммарные ошибки. Составить блок-схему вычислительного процесса.

Вопросы для самопроверки

1. В каких случаях приближение функции методами интерполяции дает более достоверный результат по сравнению с методом наименьших квадратов?

2. Играет ли существенную роль при аппроксимации выбор шага для построения таблицы экспериментальных значений?

3. Можно ли применить описанный метод для аппроксимации периодических или почти периодических функций?

4. Какая величина характеризует отклонение приближающей функции от экспериментальных точек в методе наименьших квадратов?

5. Может ли при увеличении порядка аппроксимирующего многочлена увеличиваться суммарная квадратичная ошибка?

4. Полином Чебышева

Применяется в уникальном процессе, называемом экономизацией, для преобразования разложения функции в быстросходящийся полином.

Свойства полиномов Чебышева

1. Они являются ортогональными с соответствующей весовой функцией, определенной либо на непрерывном интервале, либо на ряде дискретных интервалов.

2. Они равно пульсирующие функции, то есть изменяются между равными максимальными и минимальными значениями.

3. Нули полиномов Чебышева чередуются один за другим.

4. Все полиномы Чебышева удовлетворяют трехчленным рекуррентным соотношением.

5. Они легко вычисляются и обращаются в форму степенного ряда на основании исходной формы.

Все эти свойства образуют аппроксимирующую функцию минимакс (то есть в процессе аппроксимации минимизируется максимальная ошибка)

В МНК минимизируется сумма квадратов ошибок. В МНК максимальная ошибка может принимать достаточно большое значение. В аппроксимации Чебышева средняя ошибка часто может принимать большое значение, а минимизируется максимальная ошибка.

Определение полиномов Чебышева

T₀(x) = 1

T_n(x) = Cos(n )

Cos = x

Полиномы Чебышева ортогональны, так как косинус является ортогональной функцией и Cos(n ) является полиномом степени n величин .

Cos(n+1) + Cos(n-1) = 2Cos Cosn

T_n+1 + T_n-1 = 2xT_n

T_n+1 = 2xT_n - T_n-1

Так как T₀ = 1; T₁= x, то T₂ = 2xT₁ – T₀ = 2x² – 1

T₃ = 2xT₂ - T₁ = 2x(2x² – 1) – x = 4x³ – 3x

То есть T₀ = 1

T₁ = x

T₂ = 2x² – 1

T₃ = 4x³ – 3x

T₄ = 8x⁴ – 8x² +1

T₅ = 16x⁵ – 20x³ +5x

T₆ = 32x⁶ – 48x⁴ + 18x² -1

T₇ = 64x⁷ – 111x⁵ +56x³ -7x

T₈ = 128x⁸ – 256x⁶ +160x⁴ – 32x² +1

Можно образовать таблицу степеней x в выражения полиномов Чебышева, проводя решение относительно степеней x из этой таблицы:

1 = T₀

x = T₁

x² = (T₀ + T₂)/2

x³ = (3T₁ + T₃)/4

x⁴ = (3T₀ + 4T₂ + T₄)/8

x⁵ = (10T₁ + 5T₃ + T₅)/16

x⁶ = (10T₀ + 15T₂ + 6T₄ + T₆)/32

x⁷ = (35T₁ + 21T₃ + 7T₅ + T₇)/64

x⁸ = (35T₀ + 56T₂ + 28T₄ + 8T₆ + T₈)/128

Важное свойство полиномов Чебышева заключается в том, что во всех полиномах степени n имеется коэффициент и при делении на 2^n-1 полиномы Чебышева обладают наименьшим экстремальным значением в интервале -1 x +1

Не существует других полиномов степени n, эти коэффициенты равны 1 и которые обладают меньшим экстремальным значением, чем

max в интервале |x| 1

Это является важным положением, так как утверждает, что если аппроксимировать функцию на интервале |x| 1 при помощи полиномов Чебышева, ограниченных n членами, максимальной ошибкой приближения будет 1/2^n-1

Разложим функцию f(x) в ряд с помощью полиномов Чебышева:

f(x) =

Метод аппроксимации f(x) с помощью полиномов Чебышева является простым в употреблении и обладает умеренной сходимостью любого ограниченного разложения функции f(x) в ряд.

Так как f(x) = , то

f(x) = a₀ + x(a₁ +x(a₂ + … + x(a_m-1 + a_m x))) …) — этот ряд можно привести к ряду полиномов Чебышева, начиная от внутренних скобок, в виде

a_m-1 + a_m x = a_m-1 T₀ + a_m T₁

Можно умножить n скобочное гнездо:

a₀T₀ + a₁T₁ + … +a_nT_n

на x и добавить к нему следующий коэффициент степени n_m-n-1, чтобы получить (n+1) гнездо.

Тогда применяя xT₀ = T₁; xT_n = (T_n+1 + Tn-1)/2 приводим степенной ряд в n скобках, осуществляя преобразование в (n+1) степенной ряд полиномов Чебышева следующим образом:

Например:

f_N(x) =

f₀ = a₀ a₀ T₀

f₁ = a₀ + a₁ x a₀ T₀ + a₁ T₁

f₂ = a₀ + a₁ x + a₂ x² (a₀ + )T₀ + a₁ T₁ + ( )T₂

f₃ = a₀ + a₁ x + a₂ x²+a₃ x³ (a₀ + )T₀ +( a₁+ )T₁ + ( )T₂+( )T₂

f₄ = a₀ + a₁ x + a₂ x²+a₃ x³ + a₄ x⁴ (a₀ + + )T₀ +(a₁+ )T₁a₁

f₄ = a₀ + a₁ x + a₂ x²+a₃ x³ + a₄ x⁴ +a₅ x⁵ (a₀ + + )T₀ +(a₁+ + )T₁+( )T₂+ ( )T₃+( )T₄+( )T₅

и т.д.

То есть можно вместо

f(x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² +…+a_m x^m

брать ряд f(x) = b₀ + b₁ T₁ + b₂ T₂ +…+b_m T_m

Для того, чтобы этот процесс был точным, ряд должен быть записан в такой форме, где вычисляется f(x) при x (x) 1.

Пример:

y = ln(1+x) x - (4.1)

y T₁ – ( ) + ( )

y - (4.2)

Отбрасывая в (4.1) последний член, получаем погрешность ( ), равную 0,333 при x = 1. А в ряд (4.2) при отбрасывании последних двух членов:

= -00,1666… (так как T_n 1)

Таким образом, можно написать

y = ln(1+x) - , обеспечивающее лучшую точность, чем (4.1).

Теперь, используя определение полиномов Чебышева можно написать:

y = ln(1+x) — это и есть экономизация.