
- •Оглавление
- •Введение
- •Рабочая программа
- •Краткий конспект лекций *
- •1. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений
- •1.1. Метод простой итерации
- •1.2. Усовершенствованный метод последовательный приближений
- •1.3. Метод Ньютона-Рафсона
- •Геометрическое толкование
- •Уравнение касательной
- •1.4. Случай почти равных корней
- •1.5. Метод хорд
- •1.6. Метод секущих
- •Варианты заданий
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Методы интерполяции
- •2.1. Метод Лагранжа
- •2.2. Вычислительная схема Эйткена
- •2.3. Определение явного вида интерполяционного многочлена
- •Варианты заданий
- •Вопросы для самопроверки
- •3.Метод наименьших квадратов
- •3.1.Постановка задачи и способ решения
- •3.2.Вычислительная схема метода наименьших квадратов
- •3.3.Получение таблицы экспериментальных данных
- •3.4. Методические указания по выполнению задания
- •3.5. Форматирование Диаграммы
- •Варианты заданий
- •Вопросы для самопроверки
- •4. Полином Чебышева
- •Свойства полиномов Чебышева
- •Определение полиномов Чебышева
- •Численная оценка полиномов Чебышева
- •5. Решение систем линейниых (слау) и нелинейных уравнений (снау)
- •5.1. Метод Ньютона - Рафсона для систем нелинейных уравнений
- •5.2. Метод итерациЙ для систем нелинейных уравнений
- •5.3. Системы линейных уравнений Метод Простой итерации
- •5.4. Метод Зейделя
- •Варианты заданий
- •Вопросы для самопроверки
- •6. Численное интегрирование
- •6.1.Квадратурные формулы, порожденные интерполяционными формулами
- •6.2. Квадратурные формулы Гаусса
- •6.3 Метод Ромберга
- •6.4. Вычисление интеграла по формуле прямоугольников
- •6.5 Вычисление интеграла по формуле трапеций
- •6.6. Вычисление интеграла методом Симпсона
- •6.7 Вычисление интеграла методом Гаусса
- •Варианты заданий
- •Вопросы для самопроверки
3.5. Форматирование Диаграммы
Щелкнем правой кнопкой мыши по названию оси Y, появится диалоговое окно, щелкнем по Формат названия оси, выберем закладку Выравнивание: по горизонтали – по центру, по вертикали – по центру. Перетащим название оси Y в левый верхний угол диаграммы около последнего значения координаты y. Перенесем название оси X в нижний правый угол диаграммы около последнего значения координаты х.
Щелкнем правой кнопкой мыши по центральному серому полю диаграммы – Область построения диаграмм. Появится диалоговое окно. Выберите Формат области построения. В закладке Вид выберем: Рамка невидимая, Заливка – прозрачная. Нажмите ОК.
Щелкнем правой кнопкой мыши по любой экспериментальной точке на диаграмме. Появится диалоговое окно. Выберите Формат рядов данных. В закладке Вид выберите: Линия – отсутствует, Маркер – обычный, тип маркера – треугольник, цвет – черный, фон – белый, размер 7 пт. Нажмите кнопку ОК.
Щелкнем правой кнопкой мыши по линии оси X. Появится диалоговое окно. Выберите Формат оси. Выберите закладку Вид: Ось – другая, Толщина – вторая снизу в раскрывающемся списке. Выберите закладку Шкала, установите минимальное значение, равное 0, максимальное – 2, цена основных делений – 0.5. Нажмите кнопку ОК.
Щелкнем правой кнопкой мыши по линии оси Y. Появится диалоговое окно. Выберите Формат оси. Выберите закладку Вид: Ось – другая, Толщина – вторая снизу в раскрывающемся списке. Выберите закладку Шкала, установите минимальное значение, равное 0, максимальное – 3, цена основных делений – 1. Нажмите кнопку ОК.
Щелкнем правой кнопкой мыши по линии ограничивающую область диаграммы. На линии появятся черные квадратные маркеры, потянув за которые можно изменить размер диаграммы. Также появится диалоговое окно в котором выберите Формат области диаграммы. В закладке Вид установите: Рамка – невидимая, Заливка – прозрачная. В закладке Шрифт уберите галку Автомасштабирование. Нажмите ОК.
6. На основании
полученной таблицы экспериментальных
данных найдем прямую по формуле
,
имеющую наименьшее среднее квадратичное
отклонение от табличных значений, для
этого составим систему (3.8). В случае
линейной аппроксимации это система
двух уравнений с двумя неизвестными –
(3.13). Решение системы (3.13) сводится к
расчету коэффициентов
и свободных членов
.
7. Рассчитаем коэффициенты и свободные члены :
После расчета коэффициентов воспользовавшись формулами (3.9) или табл. 3.2, найдем коэффициенты искомой прямой:
;
.
На основании полученных коэффициентов прямой рассчитаем теоретические значения , причем значения х возьмем прежние. Сформируем таблицу теоретических данных. Отобразим их на диаграмме.
Рассчитаем линейное суммарное среднеквадратичное отклонение по формуле (3.4).
Рассчитаем коэффициент корреляции (3.19).
'____________________линия
For i = 1 To h + 1
' Считывание таблицы экспериментальных данных
x(i) = Worksheets(1).Cells(i, 1).Value
y(i) = Worksheets(1).Cells(i, 2).Value
'Расчет коэффициентов S и свободных членов Т
S0 = S0 + 1
S1 = S1 + x(i)
S2 = S2 + x(i) * x(i)
T0 = T0 + y(i)
T0_11 = T0_11 + y(i) * y(i)
T1 = T1 + x(i) * y(i)
Next i
' Расчет коэффициентов прямой аппроксимации
a0 = -1 / (-S1 ^ 2 + S2 * S0) * (-S2 * T0 + S1 * T1)
a1 = (-S1 * T0 + T1 * S0) / (-S1 ^ 2 + S2 * S0)
'Расчет коэффициента корреляции
R1 = (S0 * T1 - S1 * T0)
R2 = Sqr((S0 * S2 - S1 * S1) * (S0 * T0_11 - T0 * T0))
R = R1 / R2
For i = 1 To h + 1
' Расчет таблицы теоретических данных
y1(i) = a0 + a1 * x(i)
' Расчет среднеквадратичной ошибки линейной аппроксимации
S_line = S_line + (y(i) - y1(i)) ^ 2
Next i
Вывод всех полученных данных осуществляем на рабочий лист 3.2 (табл 3.4).
На основе полученных
данных получаем коэффициенты линейной
аппроксимации:
,
.
Таким образом,
уравнение искомой прямой (линейная
аппроксимация табличной функции) есть
.
На основе этого уравнения получаем
таблицу теоретических данных линейной
аппроксимации. Для прямой
коэффициент корреляции
.
Таблица 3.4
i |
S0 |
S1 |
S2 |
T0 |
T1 |
Sпрям |
1 |
1 |
0 |
0 |
0.607833 |
0 |
0.0677 |
2 |
1 |
0.25 |
0.0625 |
0.638997 |
0.159749 |
0.000641 |
3 |
1 |
0.5 |
0.25 |
0.754814 |
0.377407 |
0.015597 |
4 |
1 |
0.75 |
0.5625 |
1.124718 |
0.843539 |
0.000442 |
5 |
1 |
1 |
1 |
1.143086 |
1.143086 |
0.072187 |
6 |
1 |
1.25 |
1.5625 |
1.634384 |
2.04298 |
0.001884 |
7 |
1 |
1.5 |
2.25 |
1.851189 |
2.776783 |
0.008581 |
8 |
1 |
1.75 |
3.0625 |
2.195643 |
3.842376 |
0.000202 |
9 |
1 |
2 |
4 |
2.755207 |
5.510413 |
0.07802 |
∑ |
9 |
9 |
12.75 |
12.70587 |
16.69633 |
0.245255 |
8. Найдем теперь
аппроксимирующую кривую более высокого
порядка – параболу
.
В случае параболической аппроксимации это система трех уравнений с тремя неизвестными – (3.18). Решение системы (3.18) сводится к расчету коэффициентов и свободных членов .
9. Рассчитаем коэффициенты и свободные члены :
.
После расчета коэффициентов, воспользовавшись формулами (3.9) или таблицей 3.2, найдем коэффициенты искомой параболы:
;
;
.
На основании полученных коэффициентов параболы рассчитаем теоретические значения причем, значения х возьмем прежние. Сформируем таблицу теоретических данных (табл. 3.5). Отобразим их на диаграмме (рис. 3.3).
Таблица 3.5
x |
yтеория |
0 |
0.34764 |
0.25 |
0.613671 |
0.5 |
0.879702 |
0.75 |
1.145732 |
1 |
1.411763 |
1.25 |
1.677794 |
1.5 |
1.943825 |
1.75 |
2.209856 |
2 |
2.475887 |
Рис. 3.3
Рассчитаем параболическое суммарное квадратичное отклонение по формуле (3.4).
'_____________________ парабола
For i = 1 To h + 1
' Считывание таблицы экспериментальных данных
x(i) = Worksheets(1).Cells(i, 1).Value
y(i) = Worksheets(1).Cells(i, 2).Value
' Расчет коэффициентов S и свободных членов T
S0 = S0 + 1
S1 = S1 + x(i)
S2 = S2 + x(i) * x(i)
S3 = S3 + x(i) * x(i) * x(i)
S4 = S4 + x(i) * x(i) * x(i) * x(i)
T0 = T0 + y(i)
T0_11 = T0_11 + y(i) * y(i)
T1 = T1 + x(i) * y(i)
T2 = T2 + y(i) * x(i) * x(i)
Next i
' Расчет коэффициентов параболической аппроксимации
а0 = -(-S2 ^ 2 * T2 - S1 * S4 * T1 + S1 * S3 * T2 + S3 * S2 * T1 + S4 * S2 * T0 - S3 ^ 2 * T0) / (S4 * S1 ^ 2 + S2 ^ 3 - S4 * S2 * S0 - 2 * S1 * S3 * S2 + S3 ^ 2 * S0)
а1 = (-S0 * S4 * T1 + S0 * S3 * T2 - S2 * S3 * T0 - S2 * T2 * S1 + S2 ^ 2 * T1 + T0 * S4 * S1) / (S4 * S1 ^ 2 + S2 ^ 3 - S4 * S2 * S0 - 2 * S1 * S3 * S2 + S3 ^ 2 * S0)
а2 = -(S3 * T0 * S1 - S3 * T1 * S0 - T2 * S1 ^ 2 + S2 * T1 * S1 - S2 ^ 2 * T0 + S2 * S0 * T2) / (S4 * S1 ^ 2 + S2 ^ 3 - S4 * S2 * S0 - 2 * S1 * S3 * S2 + S3 ^ 2 * S0)
For i = 1 To h + 1
'Расчет таблицы теоретических данных
y2(i) = b0 + b1 * x(i) + b2 * x(i) * x(i)
'Расчет параболического суммарного квадратичного отклонения
S_parab = S_parab + (y(i) - y2(i)) ^ 2
Next i
Вывод всех полученных данных осуществляем на рабочий лист 3.
На основе полученных
данных получаем коэффициенты параболической
аппроксимации:
,
,
.
Таким образом, уравнение искомой параболы (параболической аппроксимация табличной функции) есть
.
На основе этого уравнения получаем таблицу теоретических данных параболической аппроксимации.
Для параболы
.
Рис. 3.4
10. Вывод итоговых данных осуществляем на рабочий лист 4 – таблицы: экспериментальных данных, линейной и параболической аппроксимаций, линейное и параболическое суммарное квадратичное отклонения, общую диаграмму (Рис. 3.4) .
Таблица 3.6
i |
S0 |
S1 |
S2 |
S3 |
S4 |
T0 |
T1 |
T2 |
Sпарабола |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0.607833 |
0 |
0 |
0.0005711 |
2 |
1 |
0.25 |
0.0625 |
0.015625 |
0.003906 |
0.638997 |
0.159749 |
0.039937 |
0.0011389 |
3 |
1 |
0.5 |
0.25 |
0.125 |
0.0625 |
0.754814 |
0.377407 |
0.188703 |
0.0032919 |
4 |
1 |
0.75 |
0.5625 |
0.421875 |
0.316406 |
1.124718 |
0.843539 |
0.632654 |
0.014994 |
5 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1.143086 |
1.143086 |
1.143086 |
0.0099792 |
6 |
1 |
1.25 |
1.5625 |
1.953125 |
2.441406 |
1.634384 |
2.04298 |
2.553725 |
0.0100108 |
7 |
1 |
1.5 |
2.25 |
3.375 |
5.0625 |
1.851189 |
2.776783 |
4.165174 |
0.0006312 |
8 |
1 |
1.75 |
3.0625 |
5.359375 |
9.378906 |
2.195643 |
3.842376 |
6.724158 |
0.0053708 |
9 |
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
2.755207 |
5.510413 |
11.02083 |
0.0018512 |
∑ |
9 |
9 |
12.75 |
20.25 |
34.26563 |
12.70587 |
16.69633 |
26.46826 |
0.0478391 |
Таким образом,
,
в тоже время для прямой
.
То есть
.
Сравнение прямой, параболы и экспериментальных точек подтверждает вывод, что в данном случае парабола заметно лучше аппроксимирует функциональную зависимость, полученную в эксперименте, чем прямая.