18)Формула Тейлора с Остаточным членом в форме Пеано

при

19) Формула Тейлора с Остаточным членом в форме Лагранжа

22)Направление выуклости.Точки перегиба.Необходимое условие.

График функции y=f(x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (a,b), если касательная к графику, проведенная в любой точке этого интервала, расположена над (под) графиком функции.

Пусть функция f (x) дифференцируема в любой точке интервала (a,b) , то есть имеет в

любой точке этого интервала конечную производную. Тогда существует касательная к графику

функции y  f (x) , проходящая через любую точку M(x, f (x)) этого графика (a  x  b) , причем

эта касательная не параллельна оси Oy .

Достаточное условие наличия точки перегиба. Если функция f (x)

дифференцируема в точке x  c , дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки c , за

исключением, быть может, самой точки c и вторая производная f (x) меняет знак при переходе

аргумента через точку c , то точка (c, f (c)) является точкой перегиба графика функции.

Если функция y  f (x) имеет на интервале (a,b) конечную вторую

производную и если эта производная неотрицательна (неположительна) всюду на этом интервале,

то график функции имеет на интервале (a,b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

23) Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков.

Теорема. Если f(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если f(x1)<0 и минимум, если f(x1)>0.

Если функция g(x) обладает второй производной причем в некоторой точке первая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точка экстремум функции g(x), причем если , то точка является максимумом; если , то точка является минимумом.

25) Вертикальной асимптотой графика функции называется вертикальная прямая , если или при каком-либо из условий: , , . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка принадлежала области определения функции , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: или , где .     

        Пример 7.1   Рассмотрим функцию . График имеет вертикальную асимптоту , поскольку при выполняется условие , а также при выполняется условие .     

Рис.7.1.Вертикальная асимптота функции

Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая , если выполнены два условия: 1) некоторый луч целиком содержится в ; 2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :

(7.1)

Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая , если 1) некоторый луч целиком содержится в ; 2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :

    

Рис.7.6.Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при и при