11)Теорема Ролля

Пусть функция . Тогда ■

□ Из условия следует по свойству 10 непрерывных на функций, что .

Существует две возможности:

1) ;

2) в силу .

Пусть , тогда согласно теореме Ферма .

Данная теорема обладает таким же геометрическим истолкованием, что и теорема Ферма.

12)Теорема Лагранжа

Пусть функция . Тогда ■

□ Введём на вспомогательную функцию , для которой верны условия теоремы Ролля: или .

Следовательно .

Солгасно т. Ролля :

◙

Геометрическое истолкование теоремы Лагранжа. Строим график функции (рис. 10.2), . Угловой коэффициент касательной в т. . Следовательно, на графике функции .

 

Рис. 10.2

13)Теорема Коши

Пусть функции . Тогда .

В формуле . В противном случае согласно теореме Ролля .

□ Введём . Подберём такое , чтобы

Тогда . По теореме Ролля .

Теорема Коши является обобщением теоремы Лагранжа, где .

14)Правило Лопиталя

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность типа или . Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности. Если и , то ; Если и , то аналогично . Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа . Первые две неопределенности можно свести к типу или с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности сводятся к типу с помощью соотношения Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.

15)Условия возрастания и убывания дифференцируемой функции на интервале.

Возрастание и убывание дифференцируемой функции связано со знаком её производной. Напомним, что функция называется возрастающей на интервале , если для любых двух точек из неравенства следует, что ; убывающей на интервале , если из неравенства следует, что ; невозрастающей на интервале , если из неравенства следует, что , и неубывающей на интервале , если из неравенства следует, что .

16)Экстремумы функции.

Точку называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают . Точку называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают . Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число. Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

Необходимые условия экстремума. Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f '(xо) = 0, либо f (xо) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть xо - критическая точка. Если f ' (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f ' (x) в окрестности точки xо и вторую производную  в самой точке xо. Если f ' (xо) = 0, >0 ( <0), то точка xо является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.