5)Дифференцируемость функций.

Определение. Если функция y = f(x) имеет производную в точке x = x0, то функция дифференцируема в этой точке.

Дифференциал

 в математике, главная линейная часть приращения функции. Если функция y = f (x) одного переменного х имеет при х = х0 производную, то приращение

         Δy = f (x0 + Δx) - f (x0)

        функции f (x) можно представить в виде

         Δy = f' (x0) Δx + R,

        где член R бесконечно мал по сравнению с Δх. Первый член

         dy = f' (x0) Δх

        в этом разложении и называется дифференциалом функции f (x) в точке x0. Из этой формулы видно, что дифференциал dy линейно зависит от приращения независимого переменного Δx, а равенство

         Δy = dy + R

        показывает, в каком смысле Д. dy является главной частью приращения Δy.

Необходимое условие дифференцируемости

Если функция  переменных дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке и имеет в ней конечные частные производные по всем переменным.

Достаточное условие дифференцируемости

Если функция  определена на множестве  и имеет в точке  непрерывные частные производные по всем переменным , то она в этой точке дифференцируема.

Геометрический смысл

Если существует предельное положение секущей MP при стремлении точки N к точке M вдоль графика функции при D x® 0), то это предельное положение называется касательной к графику функции f(x) в данной точке M этого графика.

Из данного определения следует, что для существования касательной к графику f(x) в точке M достаточно, чтобы существовал предел limD x® 0f (D x) = f 0, который равен углу, образованному касательной с положительным направлением оси OX.

Справедливо утверждение:

Предложение 1. Если f(x) имеет в данной точке x производную, то существует касательная к графику функции f(x) в точке M( x,f(x)) , причем угловой коэффициент этой касательной равен производной f'(x).

Из этого утверждения вытекает геометрический смысл производной: производная f'(x0) есть угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y = f(x) в точке x0, который в свою очередь равен tg угла наклона касательной к графику функции.

Тогда уравнение касательной к кривой f(x) в точке x0 имеет вид

y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)

6)Непрерывность дифференцируемой ф-ии.

Если функция   дифференцируема в некоторой точке  a, то она непрерывна в этой точке. Доказательство. По определению производной

Это предельное равенство означает, что выражение под знаком предела можно представить в виде

где  α(x)  – бесконечно малая функция при  x → a. Тогда

Следовательно,     при  x → a. Заметим, что дифференцируемость функции в некоторой точке означает ее гладкость в окрестности этой точки, что влечет за собой непрерывность функции в рассматриваемой точке. Однако обратное утверждение несправедливо – функция, обладающая свойством непрерывности в некоторой точке, не обязательно дифференцируема в этой точке.