10.Мода случайной величины.

 Модой дискретной случайной величины X (обозначается x_mod) называется ее наиболее вероятное значение, то есть то значение, для которого вероятность p_i достигает максимума. Моду дискретной случайной величины можно определить графически по столбцовой диаграмме, как абсциссу столбца, имеющего наибольшую высоту.

Модой непрерывной случайной величины X (обозначается x_mod) называется то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения. В частности, если распределение имеет два максимума, то распределение называется двумодальным.

11.Медиана случайной величины, геометрический смысл медианы.

Медианой случайной величины X называется такое ее значение x_med, для которого P(X < x_med) = P(X  x_med) = 0,5, то есть одинаково вероятно, примет ли случайная величина значение, большее или меньшее медианы. Геометрически: медиана – это координата той точки на оси абсцисс, для которой площади фигур, ограниченных кривой f(x) и осью абсцисс, находящихся слева и справа от неё, одинаковы и равны 0,5. Учитывая определение функции распределения, .

Эта характеристика применяется, как правило, только для непрерывных случайных величин. Для дискретных случайных величин множество значений х, удовлетворяющих свойству медианы , либо бесконечно, либо является пустым.

Очевидно, что характеристики положения (математическое ожидание, мода и медиана) имеют такую же размерность, как и сама случайная величина.

12.Дисперсия случайной величины, ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия является мерой рассеивания значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Для дискретных и непрерывных случайных величин дисперсию можно вычислить соответственно по формулам

В механической интерпретации дисперсия представляет собой момент инерции распределения масс относительно центра масс (математического ожидания). Если говорить о форме кривой плотности распределения, то дисперсия характеризует степень ее «размазанности» по оси Ox. Чем больше величина D[X], тем более «размазанным» выглядит соответствующее распределение.

Свойства дисперсии:

а) дисперсия постоянной величины равна нулю:

D[C] = 0;

б) постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D[CX] = C²D[X];

в) дисперсия алгебраической суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. Например, для трех случайных величин X₁, X₂ и X₃

D[X₁  Х₂  Х₃] = D[X₁] + D[Х₂] + D[Х₃];

г) D[С  Х] = D[X].

13.Коэффициент асимметрии.

Коэффициент асимметрии (обозначается A[X]) характеризует скошенность распределения случайной величины относительно математического ожидания. Для симметричных относительно математического ожидания распределений A[X] = 0. Если в распределении случайной величины преобладают положительные отклонения, то A[X] > 0, если отрицательные, то A[X] < 0. На рисунке 11 изображены графики функций плотности распределения вероятностей с положительным и отрицательным значениями A[X], а также график симметричного распределения. Значение коэффициента асимметрии для дискретных и непрерывных случайных величин вычисляется, соответственно по формулам

; .