
- •1 Раздел.
- •1.Вероятностный эксперимент. Пространство элементарных событий.
- •2.Дискретные и непрерывные пространства элементарных событий. Примеры.
- •3.Случайные события: определение, примеры.
- •4.Классификация событий.
- •5.Операции над событиями.
- •6.Сумма и произведение случайных событий.
- •7.Разность событий, противоположные события.
- •8. Определение вероятности, аксиомы Колмогорова.
- •9.Относительные частоты, их свойства.
- •10.Классический метод вычисления вероятности.
- •11.Элементы комбинаторики и тв
- •12. Статистический метод вычисления вероятности.
- •13. Аксиоматический метод задания вероятности.
- •14. Свойства вероятностей.
- •15. Условные вероятности. Аксиомы Колмогорова (для случая условных вероятностей).
- •16. Независимость событий (для двух и для трёх событий).
- •17. Теоремы умножения вероятностей (для двух и для трёх событий). Условия их применения.
- •18. Теоремы сложения вероятностей (для двух и для трёх событий). Условия их применения.
- •19. Формула полной вероятности.
- •20. Формула Байеса.
- •21. Схема испытаний Бернулли.
- •22. Формула Бернулли. Наиболее вероятное число наступления «успехов» в схеме.
- •23. Локальная теорема Муавра-Лапласа
- •24. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
- •25. Теорема Пуассона
- •2 Раздел.
- •1.Определение случайной величины, типы случайных величин, примеры. Закон распределения вероятностей случайной величины.
- •2.Фукция распределения вероятностей случайных величин, ее свойства.
- •3.Типы случайных величин. Примеры.
- •4.Дискретная случайная величина. Как можно задать закон распределения дискретной случайной величины?
- •5.Непрерывная случайная величина. Что называется плотностью распределения вероятностей?
- •6.Взаимосвязь между функцией распределения и плотностью распределения.
- •7.Свойства плотности распределения.
- •8.Числовые характеристики распределения случайной величины.
- •9.Математическое ожидание случайной величины, ее свойства.
- •10.Мода случайной величины.
- •11.Медиана случайной величины, геометрический смысл медианы.
- •12.Дисперсия случайной величины, ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
- •13.Коэффициент асимметрии.
- •14.Коэффициент эксцесса.
- •2.Статистический закон распределения дискретной случайной величины.
- •3.Статистический закон распределения непрерывной случайной величины.
- •4.Графическое изображение статистических законов распределения.
- •5.Точечные оценки числовых характеристик: математического ожидания, моды, медианы.
- •7.Статистические гипотезы. Параметрические и непараметрические гипотезы.
- •8.Статистические гипотезы. Нулевая и альтернативная гипотеза.
- •9.Проверка статистических гипотез. Статистический критерий значимости. Примеры статистических критериев.
- •10.Область допустимых значений и критическая область статистического критерия.
- •11.Ошибки, совершаемые при проверке статистических гипотез. Уровень значимости статистического критерия.
- •12. Непараметрические статические гипотезы. Гипотеза о виде закона распределения.
- •13. Проверка гипотезы о виде закона распределения. Критерий Пирсона.
- •14. Интервальные оценки параметров распределения
- •15. Доверительная вероятность, доверительный интервал.
- •16. Доверительные Интервалы для математического ожидания нормально распределенной случайной величины
- •17. Функциональная, статистическая, регрессионная зависимость.
- •18. Корреляционное поле. Выбор модели регрессионной зависимости.
- •20.Коэффициент корреляции, его свойства.
- •21.Проверка значимости коэффициента корреляции.
- •22. Построение нелинейного выборочного уравнения регрессии.
- •24.Проверка значимости коэффициента детерминации.
- •25.Для чего применяется метод наименьших квадратов в регрессионном анализе?
17. Теоремы умножения вероятностей (для двух и для трёх событий). Условия их применения.
Теорема1: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е.. Р(А∩В)=Р(А)*Р(В| А)
Теорема2: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей Р(А∩В)=Р(А)*Р(В)
Для 3-х событий - Р(А∩В∩С)=Р(А)*Р(В|А)*Р(С| А∩В)
18. Теоремы сложения вероятностей (для двух и для трёх событий). Условия их применения.
Теорема1: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Теорема2: Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).
Для 3-х событий - Р (АỦВỦС)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(А∩В)-Р(В∩С)-Р(А∩С)+ Р(А∩В∩С)
19. Формула полной вероятности.
Частным случаем применения теорем сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности. При решении многих практических задач часто встречаются с ситуацией, когда прямое вычисление вероятности события A трудно или невозможно, в то время как вполне доступно определение вероятности этого события при некоторых различных условиях Hi.
Условия применения формулы полной вероятности :
Пусть производится испытание, об условиях которого можно сделать n взаимно исключающих предположений: H1, H2,…, Hn (Hi Hj = , при i j), таких, что
H1+
H2+…+
Hn
=
.
Поскольку заранее неизвестно, какое из событий Hi произойдет, эти события называют гипотезами. Предполагается, что вероятности гипотез известны и равны соответственно P(H1), P(H2),…, P(Hn). Так как события H1, H2,…, Hn несовместны и образуют полную группу событий, то P(H1)+ + P(H2)+…+P(Hn) = 1.
Тогда любое рассматриваемое событие A может произойти только одновременно с осуществлением одной из гипотез H1, H2,…, Hn. То есть A = A H1 A H2 … A Hn. Поскольку события A H1, A H2,…, A Hn – несовместны, P(A) = P(A H1) + P(A H2) + … + P(A Hn). Применив теорему умножения вероятностей, можно записать: P(A Hi) = P(Hi)P(A|Hi).
Таким образом, приходим к формуле полной вероятности, позволяющей определить «полную» вероятность события A через известные условные вероятности события A при гипотезах Hi:
P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) + … + P(Hn)P(A|Hn)=
.
20. Формула Байеса.
Частным случаем применения теорем сложения и умножения вероятностей является формула Байеса. При решении многих практических задач часто встречаются с ситуацией, когда прямое вычисление вероятности события A трудно или невозможно, в то время как вполне доступно определение вероятности этого события при некоторых различных условиях Hi.
Сформулируем условия применения формулы Байеса.
Если известно, что в результате опыта произошло событие A, то новые, апостериорные (послеопытные) вероятности гипотез можно определить по формуле Байеса
=
.
Эти вероятности, которые интересуют нас после проведения эксперимента, называются апостериорными вероятностями. Вероятности гипотез P(Hi), которыми мы должны располагать до проведения эксперимента, называются априорными вероятностями.
Таким образом, формула Байеса – это формула пересчета вероятностей гипотез на основании результатов эксперимента. Легко видеть, что сумма апостериорных вероятностей гипотез равна единице.