Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Шпоры ТВиМС.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
552.45 Кб
Скачать

17. Теоремы умножения вероятностей (для двух и для трёх событий). Условия их применения.

Теорема1: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е.. Р(А∩В)=Р(А)*Р(В| А)

Теорема2: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей Р(А∩В)=Р(А)*Р(В)

Для 3-х событий - Р(А∩В∩С)=Р(А)*Р(В|А)*Р(С| А∩В)

18. Теоремы сложения вероятностей (для двух и для трёх событий). Условия их применения.

Теорема1: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Теорема2: Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Для 3-х событий - Р (АỦВỦС)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(А∩В)-Р(В∩С)-Р(А∩С)+ Р(А∩В∩С)

19. Формула полной вероятности.

Частным случаем применения теорем сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности. При решении многих практических задач часто встречаются с ситуацией, когда прямое вычисление вероятности события A трудно или невозможно, в то время как вполне доступно определение вероятности этого события при некоторых различных условиях Hi.

Условия применения формулы полной вероятности :

Пусть производится испытание, об условиях которого можно сделать n взаимно исключающих предположений: H1, H2,…, Hn (Hi  Hj = , при i  j), таких, что

H1+ H2+…+ Hn = .

Поскольку заранее неизвестно, какое из событий Hi произойдет, эти события называют гипотезами. Предполагается, что вероятности гипотез известны и равны соответственно P(H1), P(H2),…, P(Hn). Так как события H1, H2,…, Hn несовместны и образуют полную группу событий, то P(H1)+ + P(H2)+…+P(Hn) = 1.

Тогда любое рассматриваемое событие A может произойти только одновременно с осуществлением одной из гипотез H1, H2,…, Hn. То есть A = A  H A  H   A  Hn. Поскольку события A  H1, A  H2,…, A  Hn – несовместны, P(A) = P(A  H1) + P(A  H2) +  + P(A  Hn). Применив теорему умножения вероятностей, можно записать: P(A  Hi) = P(Hi)P(A|Hi).

Таким образом, приходим к формуле полной вероятности, позволяющей определить «полную» вероятность события A через известные условные вероятности события A при гипотезах Hi:

P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) +  + P(Hn)P(A|Hn)= .

20. Формула Байеса.

Частным случаем применения теорем сложения и умножения вероятностей является формула Байеса. При решении многих практических задач часто встречаются с ситуацией, когда прямое вычисление вероятности события A трудно или невозможно, в то время как вполне доступно определение вероятности этого события при некоторых различных условиях Hi.

Сформулируем условия применения формулы Байеса.

Если известно, что в результате опыта произошло событие A, то новые, апостериорные (послеопытные) вероятности гипотез можно определить по формуле Байеса

= .

Эти вероятности, которые интересуют нас после проведения эксперимента, называются апостериорными вероятностями. Вероятности гипотез P(Hi), которыми мы должны располагать до проведения эксперимента, называются априорными вероятностями.

Таким образом, формула Байеса – это формула пересчета вероятностей гипотез на основании результатов эксперимента. Легко видеть, что сумма апостериорных вероятностей гипотез равна единице.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]