9.Относительные частоты, их свойства.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой:

W (А) = m / n,

где m - число появлений события, n - общее число испытаний.

Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, можно заключить: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту - после опыта.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах, относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

10.Классический метод вычисления вероятности.

Если пространство элементарных событий некоторого эксперимента состоит из конечного числа элементов ₁, ₂, …, _n, причём все исходы являются равновозможными, то есть

P(₁) = P(₂) = … = P(_n),

то для определения вероятности любого события A, связанного с данным экспериментом, можно воспользоваться так называемым классическим методом определения вероятности, согласно которому вероятность любого события A определяется по формуле

(1)

где m – число элементарных исходов, благоприятных событию A;

n – общее число исходов пространства элементарных событий .

Ограничения классического способа:

а) все элементарные исходы вероятностного эксперимента Е должны быть равновозможными, то есть =  , для любых ;

б) множество всех элементарных исходов пространства  должно быть конечным. Например, классический метод нельзя применить для вычисления вероятности того, что монета выпадет при втором подбрасывании монеты для примера 4:

Е: Подбрасывание монеты до тех пор, пока на ней не выпадет герб.

 = {Г, РГ, РРГ, РРРГ, РРРРГ, РРРРРГ, … }. В данном случае пространство  бесконечно.

11.Элементы комбинаторики и тв

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются способы подсчета числа элементов в конечных множествах. Формулы комбинаторики используют при непосредственном вычислении вероятностей.

Размещениями (или упорядоченными выборками без возвращения) называют множества, составленные из п различных элементов по т элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений определяется формулой (читается размещения m элементов из n).

Сочетаниями (или неупорядоченными выборками без возвращения) из п различных элементов по т называются множест­ва, содержащие т элементов из числа п заданных, и которые отличают­ся хотя бы одним элементом. Число сочетаний из п элементов по т обо­значают: . Это число выражается формулой (читается сочетания m элементов из n).

Отметим, что числа перестановок, размещений и сочетаний связаны равенством.

Упорядоченные выборки, элементы которых могут повторяться, называют упорядоченными выборками с возвращениями. Число всех возможных способов выбора т элементов из п элементов определяет­ся формулой .

Неупорядоченные выборки, элементы которых могут повторяться, называют неупорядоченными выборками с возвращениями. Число всех возможных способов выбора т элементов из п элементов определяет­ся формулой .

Для вычисления числа комбинаций удобно пользоваться таблицей - Способы выбора m элементов из n элементов:

Выборка	Упорядоченная	Неупорядоченная
С повторением (с возвращением)
Без повторения (без возвращения)