6.Сумма и произведение случайных событий.

Суммой (объединением) событий A и B (обозначается A  B или A + B) называется третье событие, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий A или B, то есть, когда происходит или A, или B, или оба вместе. Благоприятными событию A  B являются все исходы, благоприятные хотя бы одному из событий A или B.

Аналогично определяется сумма любого числа событий A₁  A₂   A₃  … Это событие состоит в осуществлении хотя бы одного из событий A₁, A₂, A₃,… Благоприятными этому событию являются все элементарные исходы, благоприятные хотя бы одному из событий A₁, A₂, A_3, …

Произведением (пересечением) событий A и B (обозначается A  B или AB) называется третье событие, состоящее в одновременном осуществлении событий A и B. Событию AB благоприятны исходы, благоприятные и событию A и событию B, то есть исходы, которые одновременно принадлежат двум событиям A и B.

Согласно определению произведение любого числа событий А₁  А₂  А₃  _… состоит в одновременном осуществлении событий A₁, A₂, A₃, … Благоприятными этому событию являются исходы, благоприятные всем рассматриваемым событиям A₁, A₂, A₃, …

7.Разность событий, противоположные события.

Разностью событий A и B (обозначается A \ B, или A – B) называется третье событие, состоящее в осуществлении события A без осуществления события B. Событие A \ B состоит из всех элементарных исходов, благоприятных событию A, за исключением исходов, благоприятных событию B.

Противоположным событию A называется событие , состоящее в ненаступлении события A. Событию благоприятны все возможные исходы пространства элементарных событий, кроме тех, которые благоприятны событию A. То есть  =  \ A,  + A=  .

8. Определение вероятности, аксиомы Колмогорова.

Вероятность случайного события А – это числовая функция Р(А), определенная на пространстве элементарных событий , характери­зующая меру объективной (не зависящей от воли исследователя) возмож­ности наступления события А .

При неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота события A приближается к вероятности события A и стабилизируется около этого значения.

При статистическом определении вероятности в качестве вероятности события используется относительная частота этого события в большой серии испытаний.

Основное положение теории вероятностей: Пусть дано дискретное пространство элементарных событий  с элементами ₁, ₂, ₃,… Полагаем, что каждому из элементарных событий _i поставлена в соответствие некоторая неотрицательная числовая характеристика p_i = P(_i), называемая вероятностью этого события, причем

По определению, вероятность P(A) любого события A равна сумме вероятностей всех составляющих его элементарных событий:

.

Аксиомы, которым должны удовлетворять вероятности любых событий:

А1 (аксиома неотрицательности). Вероятность любого события A есть неотрицательное число:

P(A)  0, для любого события A.

А2 (аксиома нормированности). Вероятность достоверного события (всего пространства элементарных исходов ) равна единице:

P() = 1.

А3 (аксиома аддитивности). Вероятность суммы счетного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A₁  A₂  A₃  …) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) + …

Основные следствия из аксиом теории вероятностей:

1 Вероятность невозможного события равна нулю: P() = 0.

2 Вероятность любого случайного события есть число, заключенное в отрезке от нуля до единицы: 0  P(A)  1.

3 Вероятность события , противоположного событию A, можно определить следующим образом: P( ) = 1 – P(A).