14. Интервальные оценки параметров распределения

Любая функция f{x1,x2,..., хп) от результатов наблюдения x1,x2,..., хп исследуемой с. в. X называется выборочной статистикой ИЛИ просто статистикой. Статистика Θс крышкой используемая в качестве приближённого значения неизвестного параметра Θ, называется статистической оценкой параметра Θ.

Существует два вида оценок параметров: точечные и интервальные. Точечные оценки определяют точку Θс крышкой, являющуюся некоторым приближением оцениваемого параметра Θ. Интервальная оценка представляет собой интервал (Θ1с крышкой, Θ2с крышкой)который с заданной вероятностью накрывает неизвестное значение параметра Θ.

Познакомимся сначала с точечными оценками. Поскольку любая выборка является конечной и случайной, все выборочные функции Θс крышкой = f{x1,x2,..., хп) являются случайными величинами, то есть при переходе от одной выборки к другой вычисленные значения оценки Θс крышкой будут отличаться друг от друга. Желательно, чтобы получаемые значения Θс крышкой располагались как можно ближе к истинному значению оцениваемого параметраΘ . Это достигается в тех случаях, когда статистическая оценка Θс крышкой = f{x1,x2,..., хп)обладает такими свойствами, как состоятельность, несмещённость и эффективность.

Статистическая оценка Θс крышкой называется состоятельной, если ее вычисляемое по опытным данным значение при увеличении объема выборки сходится по вероятности к истинному значению 0 оцениваемого параметра, то есть, если для любого, сколь угодно малого s > 0 lim Р(\Θ - Θс крышкой \< е) =1.Оценка Θс крышкой называется несмещенной (или оценкой без систематической ошибки), если ее математическое ожидание совпадает со значением Θс крышкой оцениваемого параметра; M[Θс крышкой] =Θ .Несмещенная Θс крышкой оценка называется эффективной, если по сравнению с другими оценками параметра, вычисляемыми на основании выборок одинакового объема п, она обладает наименьшей дисперсией.

15. Доверительная вероятность, доверительный интервал.

Заменяя при проведении статистического исследования неизвестное значение параметра Θ его точечной оценкой Θс крышкой, мы отдаем себе отчет в том, что при этом совершаем некоторую ошибку. Большое практическое значение имеет информация о величине этой ошибки. Другими словами, возникает вопрос об определении точности оценки Θ с крышкой, то есть о таком значении ε, что | Θ − Θс крышкой|< ε .

Поскольку в нашем распоряжении имеются лишь выборочные данные, то можно определить только вероятность P осуществления этого неравенства,

которая называется доверительной вероятностью:

P(Θ − Θс крышкой< ε )=P.

Соотношение может быть записано следующим образом:P(Θ1 с крышкой< Θ < Θ2 с крышкой)=P.

Это означает, что неизвестное значение оцениваемого параметра Θ с доверительной вероятностью P будет накрыто интервалом (Θ1 с крышкой,Θ2 с крышкой)

который называется доверительным интервалом (или интервальной оценкой параметра Θ).

Значение доверительной вероятности выбирается исходя из целей исследования и ответственности при принятии решения в конкретной задаче. Обычно доверительная вероятность P принимается равной 0,95,

0,99, реже -0,999.