3. Линейно зависимые, независимые элементы линейного пространства. Теорема.

Элементы линейного пространства, называются линейно зависимыми, если существуют числа , не равные одновременно 0, что линейная комбинация этих элементов = 0-му элементу.

Элементы линейного пространства, называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна 0, .

Теорема: Элементы линейного пространства линейно зависимы, тогда и только тогда, когда хотя бы один из них являются линейной комбинацией остальных элементов.

1. Если среди элементов имеется 0-й элемент, то эти элементы линейно зависимы.

2. Если часть элементов является линейно зависимыми, то и все эти элементы линейно зависимые.

Исследования линейной зависимости или независимости элементов арифметического пространства сводится к решению однородной системы k-линейных алгебраических уравнений с n-переменными. Это следует из координатной записи уравнений.

Если система имеет только 0-е решение, то элементы линейного пространства будут линейно независимы, если система имеет бесконечное множество решений (среди которых есть ненулевое) то элементы будут линейно зависимы.

Таким образов, исследования количества решений системы сводится к нахождению ранга матрицы.

4. Базис. Размерность линейного пространства.

Базисом линейного пространства называется упорядоченная линейно-независимая совокупность элементов, через которую линейно выражается любой элемент линейного пространства.

Так в линейном пространстве геометрических векторов в плоскости, базисом является любая пара неколлинеарных векторов.

В линейном пространстве базисом является упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Число элементов базиса, называется размерностью линейного пространства.

5. Координаты элемента линейного пространства в базисе. Линейные операции над элементами заданные в координатной форме.

Разложение элемента линейного пространства по базису, единственно. Коэффициенты , разложение элемента , n-мерного линейного пространства по базису { } называются координатами элемента в этом базисе.

Так же как и для геометрических векторов можно записывать .

Теорема: В любом фиксированном базисе при сложении элементов линейного пространства их соответствующие координаты складываются, при умножении элемента на число, все координаты элемента умножаются на это число

Таким образом, если введен базис, то линейные операции над элементами линейного пространства сводятся к соответствующим линейным операциям над координатами этих элементов в этом базисе.

6. Матрица перехода от одного базиса линейного пространства к другому базису. Формулы преобразования координат элемента при преобразовании базиса.

Пусть в n-мерном линейном пространстве выбраны два базиса:

- «старый»

– «новый»

Каждый базисный элемент нового базиса можно представить в виде линейной комбинации базисных элементов старого базиса.

…

, где A – матрица, столбцами которой являются координаты элементов нового базиса в старом базисе , столбцами которого являются матрицей перехода от старого базиса к новому базису.

Матрица перехода – невырожденная матрица, то есть определитель A , так как в противном случае, базисные элементы оказались бы линейно зависимыми и следовательно не образовывали базис.

Координаты элемента в базисе можно найти по формуле:

.

Короче епта, берем уравнения базиса Ф, и херачим из них матрицу А, записывая в столбик. Находим обратную матрицу, и умножаем на точку, которая дана. Все эти действия и будут являться матрице перехода от одного базиса к другому.

???

PROFIT!