9. Как связаны решения неоднородной системы уравнений и соответствующей ей однородной системы?

Однородная система уравнений ax=0, полученная из неоднородной системы ax=b заменой всех её свободных членов 0, называется соответствующей однородной системой уравнений для неоднородной системы.

Если , есть частное решение неоднородной системы уравнений, а – общее решение однородной системы, то их сумма является общим решением – неоднородной системы уравнений.

3. Векторная алгебра

1. Вектор. Равные, противоположные, коллинеарные, компланарные вектора.

Вектор – направленный отрезок.

Векторы называются равными, если они имеют равные длины и одинаковые направления.

Два ненулевых вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую длину и противоположные направления.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

2. Операция сложения векторов. Свойства.

Суммой векторов A и В называется вектор соединяющий начало вектора c концом вектора , отложенного от конца вектора (Правило треугольника). Так же есть правило параллелограмма.

Свойства:

1. – коммутативность

2. - ассоциативность

3.

4.

3. Операция умножения вектора на число. Свойства.

Произведением вектора на число k, называется вектор , длина которого равна , а направление совпадает с направлением вектора , если k > 0, и вектора , если k < 0.

Свойства:

1.

2.

3.

4.

4. Линейная комбинация векторов. Теорема о разложении вектора на плоскости, в пространстве.

Линейные операции над векторами позволяют определить вектор

, называемый линейной комбинацией векторов и их коэффициентами .

Представление вектора в виде линейной комбинации векторов , называется так же разложением вектора по векторам .

Теорема о разложении вектора на плоскости, в пространстве – Любой вектор на плоскости единственным образом представляется в виде линейной комбинации 2 коллинеарных векторов .

Любой вектор в пространстве единственным образом представляется в виде линейной комбинации 3-х некомпланарных векторов .

5. Линейно зависимые, линейно независимые векторы. Теорема о линейной зависимости и независимости векторов.

Векторы называются линейно-зависимыми, если существуют неравные одновременно 0, числа , при которых линейная комбинация этих векторов, равна нулевому вектору.

Векторы называются линейно-независимыми, если линейная комбинация этих векторов, равна 0-му вектору, только .

Теорема: Векторы линейно зависимы, тогда и только тогда, когда хотя бы один из них, является линейной комбинацией остальных векторов.

Теорема: Векторы линейно независимы, тогда и только тогда, когда любой вектор является линейной комбинацией имеет единственное разложение по этим векторам.

6. Базис векторов плоскости, пространства. Ортонормированный базис.

Базисом вектора в плоскости (пространстве) называется упорядоченная линейно-независимая система векторов в плоскости (пространстве), через которую линейно выражается любой вектор плоскости (пространства).

Базисом вектора в плоскости является любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов. Базисом вектора в пространстве является любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Базис это упорядоченная система векторов. При изменении порядков векторов, базис изменяется.

Базис называется ортонормированным, если он образован единичными, взаимно перпендикулярными векторами. Векторы ортонормированного базиса, в плоскости обозначаются , в пространстве .