5. Метод Гаусса для решения определенной системы линейных уравнений.

Метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных заключается в том, что с помощью элементарных преобразований уравнения, система приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно (снизу-вверх) находятся все неизвестные.

1. Расширенная матрица системы, элементарными преобразованиями приводится к ступенчатой.

2. По ступенчатой матрице восстанавливается система, эквивалентная исходной, которая решается методом исключения неизвестных снизу-вверх.

6. Метод Гаусса для решения неопределенной системы линейных уравнений.

Методом Гаусса можно решить любую СЛАУ. В случае решения неопределенной системы, после преобразования расширенной матрицы к ступенчатому виду получается трапецеидальная система (rang-уравнения c n-неизвестными). Rang < Неизвестные.

Назовем rang-неизвестные системы, основными. Если определитель матрицы составленной из коэффициентов при них, отличен от нуля, остальные n – rang, назовем свободными неизвестными.

Основные неизвестные оставляем слева, свободные переносим в правые части уравнений. Получаем треугольную систему rang-уравнений с rang-основными неизвестными.

Решая последовательно уравнения системы, методом исключения неизвестных снизу-вверх, находим соотношение в которых основные неизвестные выражены через свободные. Совокупность этих соотношений описывает множество всех решений системы и называется общим решением системы.

Как правило, свободные неизвестные обозначаются через переменные t.

Придав свободным неизвестным какие-нибудь числовые значения, получим решение системы называемое частным.

7. Однородные слау. Ненулевое решение.

СЛАУ называется однородной, если свободные члены, всех её уравнений равны 0.

Однородная система всегда совместная т.к. имеет, по крайней мере, нулевое или тривиальное решение.

Однородная СЛАУ имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы, меньше числа неизвестных. Тоесть, СЛАУ в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Если в однородной системе, число уравнений равно числу неизвестных, то система имеет ненулевое решение, только тогда, когда определитель основной матрицы системы равен 0.

8. Фундаментальные решения однородных слау. Их количество. Алгоритм нахождения нормальной фундаментальной системы решения.

Совокупность решений однородной системы уравнений называется фундаментальной, если решение линейно независимо и каждое решение системы можно представить в виде их линейных комбинаций.

Количество фундаментальных решений равно максимальному числу линейно независимых решений однородной системы.

Количество фундаментальных решений однородной СЛАУ с n-неизвестными равно (n - r), где r – ранг матрицы системы.

Для нахождения фундаментального решения, сначала определяются какие неизвестные основные, какие свободные, затем свободным неизвестным придаются следующие наборы значений: (1,0,…,0), (0,1,…,0),…, (0,0,…,1).

Для каждого из этих наборов находим значения основных неизвестных, тем самым получаем (n - r) фундаментальных решений.

Найденная таким образом совокупность решений, называется нормальной, фундаментальной системой решений.

Если образует фундаментальную систему решения однородных СЛАУ, то общее решение этой системы можно будет записать в виде , где - произвольные постоянные.