14. Минор k-го порядка. Ранг матрицы.

Минором k-го порядка матрицы A называется определитель матрицы k-го порядка полученной из матрицы A, вычеркиванием некоторого числа её строк и (или) столбцов.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы.

Свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы не меняется.

2. Ранг прямоугольной матрицы , не превосходит меньшего из её размеров, т.е. .

3. Ранг квадратной матрицы n-го порядка равен n, только тогда когда определитель матрицы не равен 0.

4. Ранг матрицы равен 0, когда все элементы равны 0.

15. Метод элементарных преобразований вычисления ранга матрицы.

1. При элементарных преобразованиях, ранг матрицы не изменяется.

2. Ранг ступенчатой матрицы, равен количеству её ненулевых строк.

Из теоремы следует, что для нахождения ранга матрицы, можно привести матрицу к ступенчатому виду и подсчитать количество ненулевых строк.

2. Системы линейных уравнений

1. Система линейных алгебраических уравнений. Запись системы линейных уравнений в матричной форме.

СЛАУ содержащие m-уравнений и n-неизвестных, называются система вида:

Где – заданные числа.

- неизвестные величины.

– коэффициенты системы; – свободные члены.

Матричная форма записи:

, где , – столбец неизвестных, - столбец свободных членов.

2. Совместная и несовместная система уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Система уравнений называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение, и называется несовместной, если она не имеет решений.

Теорема Кронекера-Капелли – СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы, равен рангу расширенной матрицы системы.

3. Определенная и неопределенная система уравнений. Теорема о количестве решений совместной системы.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.

Теорема о количестве решений совместной системы – Совместная СЛАУ имеет единственное решение, тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы, равен числу неизвестных, и имеет бесконечное множество решений, тогда, когда ранг её основной матрицы, меньше числа неизвестных.

4. Невырожденные слау. Матричный метод и правило Крамера для решения невырожденной системы уравнений.

Невырожденной называется система n-линейных алгебраических уравнений с n – неизвестными, определитель основной матрицы которой, отличен от нуля.

Невырожденная СЛАУ имеет единственное решение.

Решение невырожденной СЛАУ, по формуле , называется матричным методом (Если что расписать в развернутом виде).

Правило Крамера: определитель можно получить из определителя матрицы А, заменой 1-го столбца, столбцом свободных членов. Тогда можно записать, что , где . Аналогичными размышлениями, приходим к формулам , где определитель получается из , путем замены 2-го столбца, столбцом свободных членов.

, где , получается из определителя , заменой n-го столбца, столбцом свободных членов.

Правило Крамера: .