10. Уравнение директрис гиперболы. Теорема определяющая характеристическое свойство директрис гиперболы. Эксцентриситет.

Директрисы проходят параллельно оси Oy, симметричные относительно начала координат и расположены между ветвями гиперболы.

Теорема: Отношение расстояния от любой точки, до её фокуса, к расстоянию от точки гиперболы до соответствующих фокусу директрисы, есть величина постоянная = .

Эксцентриситет гиперболы . Так как a < c, то эксцентриситет каждой гиперболы > 1. Так как , то , откуда следует, что . Следовательно эксцентриситет определяет отношение осей гиперболы, а отношение осей гиперболы определяется эксцентриситетом. Таким образом эксцентриситет гиперболы характеризует форму её основного прямоугольника, а значит и форму самой гиперболы. Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут её оси прямоугольник в направлении действительной оси.

11. Парабола. Каноническое уравнение. Свойства параболы, заданной каноническим уравнением.

Параболой называется множество точек плоскости для которых расстояние от некоторой фиксированной точки плоскости называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой называемой директрисой. Заметим, что для эллипса и гиперболы, отношение расстояний от точки до фокуса и до директрисы, называется эксцентриситетом ( ). Для параболы указанное отношение = 1, по её определению, и поэтому считают эксцентриситет равный 1.

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы p. Введем на плоскости прямоугольную систему координат Oxy, так чтобы ось Ox проходила через фокус, перпендикулярна директрисе в направлении от директрисы к фокусу. Начало координат расположим посередине, в этом случает фокус имеет координаты ( ), а уравнение директрисы . Обозначим через x и y координаты произвольной т.M плоскости, из определения параболы, тогда и только тогда, когда FM=d, где d расстояние от точки М до директрисы.

Каноническое уравнение параболы: .

Свойства:

1. Парабола симметрична относительно симметрична от Ox, ось Ox – ось параболы.

2. Все точки параболы расположены в правой полуплоскости от оси Oy. Начало координат лежит на параболе и называется вершиной параболы.

3. При увеличении x, модуль y увеличивается. Из этих свойств легко устанавливается вид параболы. Кривая состоящая из одной неограниченной ветки.

, расположена в левой полуплоскости.

, эти параболы имеют вершины в начале координат и симметричны относительно оси Ox. Их фокусы расположены на Oy, а директрисы параллельны оси Ox. F(0; ) y= (вверх) F(0; ) y= (вниз).

12. Параллельный перенос, поворот системы координат. Старые и новые координаты точки при параллельном переносе, повороте системы координат.

При параллельном переносе, изменяются положения начала координат, а направление осей и чего-то там еще остаются неизменными, переход от одной системы координат к другой.

Пусть начало новой системы координат т. имеет координаты ( ) в старой системе координат Oxy. Обозначим координаты произвольной точки М плоскости в системе координат Оху через (x;y), а в системе координат через ( )

Между старыми и новыми координатами точки М, справедливы соотношения:

Данные формулы позволяют находить старые координаты точки плоскости по известным новым координатам, и наоборот.

При повороте декартовой системы координат обе координатные оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Пусть новая система координат получена из старой системы координат Oxy поворотом координатных осей на угол . Угол поворота считается положительным, если он отсчитывается против часовой стрелки. Обозначим координаты произвольной точки М плоскости в Oxy через (x;y) а в через ( ), тогда между старыми и новыми координатами точки М справедливы соотношения: