2. Уравнения прямой линии на плоскости: параметрические, каноническое, общее, в отрезках, с угловым коэффициентом.

Параметрические уравнения прямой:

или

Каноническое уравнение прямой:

Если одна из координат, направляющего вектора прямой равна 0, то уравнение прямой имеет вид: (если m=0)

(если n=0)

Общее уравнение прямой на плоскости:

.

Числа A и B являются координатами вектора n перпендикулярного прямой. Данный вектор называется вектором нормали прямой или нормальным вектором прямой.

Если C , то общее уравнение прямой на плоскости может быть записано в виде:

Пологая: ; .

, уравнение прямой в отрезках.

Из уравнения прямой в отрезках выразим y:

Число , есть тангенс угла наклона к прямой оси Ox, полагая , получаем уравнение: , которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, число называется угловым коэффициентом.

3. Основные способы составления уравнения прямой линии на плоскости (через точку и угловой коэффициент прямой, через две точки, через точку и нормальный вектор).

Пусть прямая проходит через т. ( ) и образует с осью Ox угол , то уравнение прямой:

Уравнение прямой можно записать в виде:

b – пока неизвестная величина.

Так как т. лежит на прямой, то её координаты удовлетворяют этому уравнению.

Таким образом имеем уравнение , .

Пусть прямая проходит через т.

Уравнение прямой можно записать в виде:

Где m и n – координаты направляющего вектора прямой.

В качестве направляющего вектора прямой возьмем

Получаем уравнение:

Пусть прямая проходит через точку перпендикулярно ненулевому вектору .

Возьмем на прямой произвольную т.M(x;y). Векторы и будут перпендикулярными. Соответственно их скалярное произведение равно 0, таким образом уравнение имеет вид: .

4. Вывод формулы расстояния от точки до прямой линии.

Расстояние d, от т. ( ) до прямой равно модулю проекции вектора на направление нормального вектора прямой, где - произвольная точка прямой .

Если прямая задана общим уравнением: , то вектор , тогда

Так как точка принадлежит прямой , то , откуда следует, что:

Таким образом, расстояние d до прямой : , равно:

5. Угол между прямыми линиями на плоскости (через угловые коэффициенты и через нормальные векторы). Условия параллельности и перпендикулярности прямых линий на плоскости (угловые коэффициенты и через нормальные векторы).

Угол между прямыми определяется формулой:

Если требуется найти острый угол, то правя часть уравнения берется по модулю.

Вычисление угла при помощи нормальных векторов:

Если прямые заданы параметрическими или каноническими уравнениями:

Фигачим нижние части этих уравнений, в формулу.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Прямые параллельны тогда, и только тогда когда их угловые коэффициенты равны.

Прямые перпендикулярны, тогда и только тогда когда: , то есть

Условие параллельности и перпендикулярности прямых, можно записать через нормальные векторы прямых. Прямые параллельны, тогда и только тогда, когда нормальные векторы коллинеарны. То есть: .

Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение , то есть .