1. Матрицы и определители

1. Что называется матрицей? Какая матрица называется диагональной, единичной, нулевой, треугольной, ступенчатой?

Матрица – это математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы.

Диагональная матрица – это матрица, в которой все элементы, кроме диагональных элементов равны 0.

Единичная матрица – это диагональная матрица, в которой каждый диагональный элемент равен 1.

Нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны нулю.

Треугольная матрица – это квадратная матрица, в которой все элементы расположены по одну сторону, от диагональных элементов, равны 0.

Ступенчатая матрица – это матрица, в которой крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки.

2. Сложение матриц.

Матрица С называется суммой матриц А и В, если матрицы А и В одинаковых размеров и элементы матрицы С определяются равенством: c(ij) = a(ij) + b(ij);

Свойства сложения матриц:

1. A+B = B+A (коммутативность)

2. (A+B)+C = (B+C)+A (ассоциативность)

3. Для любой матрицы А существует матрица 0, называемая нулевой, такая что: А+0 = 0+А = А

3. Умножение матрицы на число.

Умножение матрицы на число, заключается в построение матрицы B, из элементов матрицы А, умноженных на это число.

Свойства умножения матрицы на число:

1. k(A+B) = kA+kB

2. (k1+k2)А = k1A+k2A

3. k1(k2A) = (k1k2)A

4. 1*A = A

4. Умножение матриц.

Произведением матрицы А размером m*n, на матрицу B размером n*p, называется матрица С размером m*p, элементы которой определяются равенствами:

c(ij) = a(i1)b(1j)+a(i2)b(2j)+…+a(iN)b(Nj);

Умножить строку матрицы А, на столбец матрицы B, результат сложить, бинго.

Свойства умножения матриц:

1. AB(C) = A(BC)

2. A(B+C) = AB+AC

3. (A+B)C = AC +BC

4. (kA)B = A(kB) = k(AB)

5. Транспонирование матрицы.

Транспонирование матрицы A размером m*n называется операция, в результате которой образуется новая матрица размера n*m, в которой строками являются столбцы исходной матрицы, записанные с сохранением порядка их следования. Матрица получающаяся в результате транспонирования обозначается .

Свойства транспонирования матриц:

1.

2.

3.

6. Элементарные преобразования матрицы.

Элементарными преобразованиями матриц называется:

1. Перестановка местами двух строк.

2. Умножение всех элементов строки на число не равное 0.

3. Прибавление к каждому элементу строки соответствующего элемента другой строки умноженного на произвольное число.

При помощи элементарных преобразований можно привести любую матрицу к ступенчатому виду.

7. Определитель матрицы 1, 2 и 3-го порядков.

Квадратной матрице можно поставить число, которое называется определителем (детерминант).

Определитель обозначается или или матрица записанная в скобках.

Определителем матрицы первого порядка называется элемент , тоесть .

Определителем матрицы второго порядка, матрицы второго порядка называется число .

Определителем матрицы третьего порядка, матрица третьего порядка называется число (расписываем метод треугольника, я надеюсь ты его помнишь, ибо такое хрен забудешь).