- •1.Понятие дифференциального уравнения, его порядка и решения.
- •2.Оду первого порядка, разрешенные относительно производной. Понятия решения и интегральной кривой уравнения. Постановка задачи Коши.
- •3.Формулировка теоремы существования и единственности ( тсе ). Понятие общего решения.
- •4.Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Примеры.
- •5.Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
- •6.Обобщенное понятие интегральной кривой.
- •7.Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.
- •8.Общий метод введения параметра.
- •9. Уравнения Лагранжа и Клеро.
- •10. Оду порядка n: определение решения, постановка задачи Коши, формулировка тсе.
- •11.Простейшие методы понижения порядка.
- •13. Лду порядка n и линейный дифференциальный оператор. Свойство решений однородного лду.
- •14 Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Определитель Вронского и необходимое условие линейной зависимости произвольной системы функций.
- •15 Теорема об определителе Вронского системы линейно независимых решений однородного лду порядка п.
- •16 Теор.
- •17. Теорема об общем решении неоднородного лду порядка n.
- •18. Метод вариации произвольных постоянных для неоднородного лду порядка n
- •19. Фср однородного лду с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического ур-ия(действительных или комплексных)
- •20. Фср однородного лду с постоянными коэффициентами в случае, когда характеристическое ур-ие имеет кратные корни
- •21.Отыскание частных решении неоднородного лду с постоянными коэффициентами и стандартной правой частью.
- •22. Нормальная система оду. Понятия решения и интегральной кривой.Постановка задачи Коши для нормальной системы, формулировка тсе.
- •23. Нормальная система лду. Скалярная и матричная запись. Формулировка тсе решения задачи Коши для системы лду.
- •24. Свойства решений однородной системы.
- •29. Метод вариации произвольных постоянных для неоднородной системы лду.
- •30. Фср однородной системы лду с постоянными коэффициентами с случае простых действительных корней характеристического уравнения.
- •32.Понятие устойчивости по Ляпунову и ассимптотической устойчивости. Сведение исследования устойчивости решения к исследованию устойчивости нулевого решения.
- •33. Устойчивость системы лду. Необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы.
- •34. Теорема об устойчивости системы лду с постоянными коэффицентами.
- •35. Понятие фазового пространства и фазовой траектории. Автономные системы оду, св-ва их фазовых траекторий.
- •36. Исследование устойчивости положения покоя системы двух лду с постоянными коэффициентами в случае , - действительные.
- •37. Исследование устойчивости положения покоя системы двух лду с постоянными коэффициентами в случае , - комплексные.
- •38. Исследование устойчивости положения покоя системы двух лду с постоянными коэффициентами в случае ,
- •39. Исследование устойчивости положения покоя системы двух лду с постоянными коэффициентами в случае .
- •40. Нелинейные системы. Исследование устойчивости по первому приближению. Теорема Ляпунова.
23. Нормальная система лду. Скалярная и матричная запись. Формулировка тсе решения задачи Коши для системы лду.
Нормальную систему порядка n дифференциальных уравнений вида dy1/dx=a11(x)y1+… a1n(x)yn+b1(x); …; dyn/dx=an1(x)y1+… ann(x)yn+bn(x) (1). называют линейной системой, здесь функции aij(x) и bi(x) определены и непрерывны на I=<>. dyi/dx=j=1naij(x)yj+bi(x), i n. fi(x,y)= j=1naij(x)yj+bi(x), i,j dfi(x,y)/dyi=aij(x)C(I). Функции fi(x,y) и dfi(x,y)/dyi определены и непрерывны G=xI=<>; -y1;…;-yn}=I*Rn. Задача Коши для линейной системы: начальные условия: x0I, y10…yn0 – произвольные числа, т.е. y0Rn (произвольный вектор). Запишем систему (1) в матричном виде: b(x)=(b1(x)…bn(x))T, A(x) – матрица-функция порядка n. A(x)=||aij||n*n; dy/dx=A(x)y+b(x). A(x), b(x)C(I).
Определение. Если b(x)0, то система dy/dx=A(x)y+b(x) (2) называется неоднородной. Если столбец b(x)=0, то система ЛДУ называется однородной и имеет вид dy/dx=A(x)y
Th.(ТСЕ для системы ЛДУ). Пусть вектор-функция b(x) и матрица-функция A(x) определены и непрерывны на I=<>, x0I, y10…yn0 – произвольные действительные числа. Тогда задача Коши: dy/dx=A(x)y+b(x), y(x0)=y0 (y0={y10…yn0}) 1. Имеет решение (x), определенная на всем I. 2. Это решение единственно (т.е. если (x) и (x) – решения, удовлетворяющие условию (x0)=(x0), то xI: (x)(x)).
24. Свойства решений однородной системы.
Определение. Если b(x)0, то система dy/dx=A(x)y называется однородной системой ЛДУ. Введем оператор =d/dx-A(x); y(x)C1(I); [y(x)]= dy/dx-A(x)y; [ y(x)]C(I).
Лемма. Оператор - линейный. Доказательство: Для любых y1(x), y2(x)C1(I) и 1,2R; Z[1y1+2y2]=1dy1/dx + 2dy2 - 1A(x)y1-2A(x)y2=1(dy1/dx-A(x)y1)+2(dy2/dx-A(x)y2)= 1Z[y1]+2Z[y2] .
Th. 1. Если вектор-функции 1(x)…n(x) решение системы dy/dx=A(x)y (1), то С1…Сn – числа: C11+…+Cnn – тоже решение системы. 2. Если u(x),v(x)C1(I), а действительная функция (x)= u(x)+iv(x) – решение системы (1), то действительные функции u(x) и v(x) – тоже решения системы. Доказательство: 1. y(x) – решение системы (1) тогда и только тогда, когда [y]= 0, т.е. когда y – лежит в ядре оператора . Т.к. ядро - линейное подпространство, то 1(x)…n(x)Rer C11+…+CnnRer и является решением системы (1). 2. [ y(x)]= dy/dx-A(x)y=0. По условию: 0=[u(x)+iv(x)]=[по лемме 1]=[u(x)]+i[v(x)]=0. Т.к. [u(x)] и [v(x)] – действительные вектор-функции, то [u(x)]=0 и [v(x)]=0.
25
Определение1. Вектор-функции 1(x)…n(x) назыв. лин. зав-ми на I=<>, если сущ-ют числа 1…n не все равные 0 такие, что xI: 11+…+nn0. Вектор-функции 1(x)…n(x) – лин. независимы на I, если из тождества xI: 11+…+nn0 следует, что 1=…=n=0.
Определение2. Пусть на пром-ке I=<,> задана вектор-функция k(x)=(1k(x); 2k(x);…; nk(x))T (k=1…n) функциональный определитель W(x)=W[1(x)…n(x)]=|11(x)…1n(x);…;n1(x)…nn(x)| (это квадр. матрица размерами n×n) называется определитель Вронского системы функций 1(x)…n(x) на I=<>.
Теор. Если система вектор-функций 1(x)…n(x) – линейно зависима на I, то xI: W(x)=W[1(x)…n(x)]0. Доказательство: Т.к. 1(x)…n(x) – лин. зав. на I, то сущ. числа 1…n не все равные 0, такие что xI: 11+…+nn0, след-но, x0I столбцы 1(x0)…n(x0) линейно зависимы W(x0)=W[1(x0)…n(x0)] т.к. его столбцы сов. с этими вект. В силу произвольности x0: W(x)=0 на I обратное неверно.
Следствие. Если существует x0I в которой W(x0)=W[1(x)…n(x)]|x=x00, то вектор-функции 1(x)…n(x) – линейно независима на I.
26
Теор. Пусть вект.-функция 1(x)…n(x) явл-ся реш. dy/dx=A(x)y (1) на I. Если сущ. x0I, в которой W(x0)=W[1(x)…n(x)]|x=x0=0, то эти решения линейно зависимы на I. Доказательство: Рассм-м вектора 1(x0)…n(x0) –столбцы W(x). Они лин.зависимы, т.к. W(x0)=0. сущ. 1…n не все равные 0 такие, что 11+…+nn=0. Составим линейную комбинацию Z(x)=11(x)+…+nn(x). По теор(_1)Если 1(x)…m(x)- произвольные решения урав. dy/dx=A(x)y (или L[y]=0) и С1,..,Сm –произ. числа, то фун-ия y=С11(x)+..+ Сmm(x)-также решение урав (1). 2) Пусть U(x) и V(x)C1(I) действ. вект.-функции, если комплексная вект.-функция f(x)= U(x)+ i*V(x) - решение (1), то U(x) и V(x) решение (1). _) Z(x)–решение (1). Z0(x)=11(x0)+…+nn(x0)=0 Таким образом Z(x) реш. задачи Коши.
dy/dx=A(x)y
y(x0)=0
Такая задача (след.ТСЕ) имеет един. решение – нулевое решение, т.е.xI: Z(x)=0
.xI: 11(x)+…+nn(x)≡0, причем 1…n не все равные 0, след. 1(x)…n(x) – линейно зависимы.
След.Если 1(x)…n(x) лин. незав. на I решения (1), то xI: W(x)=W[1(x)…n(x)]0
27
Пусть матрица-функция A(x)=||aij||n*n непрерывна на I=<>.dy/dx=A(x)y (1).
Определение1. ФСР однородная сист. ЛДУ (1) порядка n назыв. любые n линейно независ. решений этой системы.
Теор. У любой однор. системы ЛДУ существует ФСР. Доказательство: Зафиксируем x0I и вектора e1=(1,0,…,0)T, e2=(0,1,…,0)T,…,en=(0,0,…,1)T. Поставим задачу Коши: dy/dx=A(x)y, y(x0)=ek, k=1…n. Обозначим k(x) – реш. этой задачи. Покажем, что решение 1(x)…(x) линейно независимо. Вычислим: W(x0)=W[1(x0)…n(x0)]=|1,0,…,0;0,1,…,0;…;0,0,…,1|=10 (это квадр. матрица) 1(x)…n(x) – линейно независимы на I 1(x)…n(x) – ФСР. .
Определение 2. Общим решением системы ЛДУ вида dy/dx=A(x)y+b(x) на промежутке I=<,> назыв. мн-во всех решений этой системы на I.
Теор. (об общем решении системы ЛДУ). Пусть 1(x)…n(x) – ФСР системы (1) на пром. I, тогда любое решение этой системы имеет вид: y(x)=C11+…+Cnn, где C1…Cn – произвольные числа.
28
dy/dx=A(x)y+b(x) (1); dy/dx=A(x)y (2); L=d/dx-A(x); L[y]= b(x) (1'); L[y]=0 (2'); b(x), A(x) непр. на I.
Теор1. (св-ва решения неоднородной системы ЛДУ). 1. Если (x) – решение системы (1), а (x) – решение системы (2), то (x)+(x) – решение (1). 2. Если 1(x),2(x) – решения системы (1), то (x)=1(x)-2(x) – решение приведенной системы (2). Доказательство: 1. Дано L[]=b(x), L[]=0; L[+]=L[]+L[]=b(x)+0= b(x); +-решение (1). 2. Известно L[1(x)]=b(x), L[2(x)]=b(x). L[]=L[1-2]=Z[1(x)]-Z[2(x)]=b(x)-b(x)=0 (x)-реш.сист. (2).
Теор2. (об общем решении неоднородных систем ЛДУ). Пусть (x) – частное решение системы (1), а 1(x)…n(x) – ФСР однородной системы (2), тогда любое решение y(x) неоднор. сист. (1) представ. в виде: y(x)=(x)+C11+…+Cnn, где C1…Cn – произвольные числа. Доказательство: Заметим, что любая вект.-функ. (x)-i=1nСii(x)- решение сист. (1) (из теор 1). Пусть y(x) – произвольное решение (1), тогда y(x)-(x)= (x), где (x)- реш. привед. сист. (2) (теор 1). По теор (_(об общем решении системы ЛДУ). Пусть 1(x)…n(x) – ФСР системы (1) на пром. I, тогда любое решение этой системы имеет вид: y(x)=C11+…+Cnn, где C1…Cn – произвольные числа._) (x) может быть представ. в виде: (x)=C11+…+Cnn, Следовательно, y(x)=(x)+(x)= (x)+C11+…+Cnn.