4.Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Примеры.

ОДУ вида:(3) –называют уравнение с разделяющимися переменными

Теорема 1.Если непрерывная при a<x<b , непрерывна при c<y<d, причем ∀y∈(c,d):g(y)≠0,то через каждую точку M₀(x₀ , y₀) прямоугольника D= проходит единственное решение уравнения (3)

Доко-во

(3)y =f(x)g(y);g(y) ≠0

(3 ): =f(x)

Проинтегрируем по x : = 

Обозначим

F(x)=

G(y)= из (3^*)

G(y)=F(x)+C

Т.к G = ≠0,то у G(y) существует обратный G^-1

Y=G^-1(f(x)+C) – решением уравнения (3)

Найдем решение проходящие (x₀ , y₀)

G(y₀)=F(x₀)+C ; y= G^-1(f(x))

Замечания

1)Если ∃y^* такое g(y^*)=0 тогда ,уравнение (3) имеет решение y=y^*

2) Алгоритм решения ур-ия (3)

a)g(y)=0 найти y^*g(y^*)=0 ,тогда y= y^*

б)g(y) ≠0 ; =f(x) =

3) =f(ax+by+c),a,b,c∈ ℝ, b≠0

Такое ур-ие сводится к ур-ию с разделяющими переменными

x- независимая переменная ,z=z(x)

z'=a+bf(2) уравнение с раздел. Перемен

z=ax+by+c и z'=a+by'

Пример: ydx = (x +1)dy

Однородные уравнения

(4)y'=F(

Уравнение вида (4) называют однородным, x – независимая переменная U=U(x)

y=ux;u= ; y'=u'x+u

Уравнение (4) преобразуют к виду :u'x+u=F(u); u'=

Пример: xy'=y-x

Уравнение сводящие к однородному

y = ;a_i;b_i;c_i∈R и i=1,2

a₁b₁-a₂b₂≠0; a₁b₁-a₂b_2, существует единственное решение(x₀,y₀)

Вводим новые переменные

1. =y _x; =F( )-однородное уравнение

5.Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.

Однородное уравнение

Уравнение вида (5) y +p(x)y=f(x) называется линейным уравнением

Теорема 2. Пусть функция P(x) и f(x) непрерывны на интервале α<x<β.Тогда через любую точку

(x₀ , y₀) полосы D= ;проходит единственное решение уравнения (5) , причем оно определенно на (

Уравнение (5) называется однородным, если f(x)=0 и неоднородно в противном случае

Док-во

Пусть уравнение является однородным ,т.е (6) y +p(x)y=0 это уравнение с раздел. Перемен

y=0 решение

y≠0; ;

ln = ;C₁>0 ;lnC₁∈R

=C₁exp-

Потенцируем =ay= a

y=C₁exp- C₁>0;

Введем новую С

у=Сexp--

Решением проходящим через (x₀,y₀),имеет вид y= y₀exp

y(x₀)=y₀1=y₀

Уравнение неоднородное

Пусть f(x) ≠0 Решением уравнения(5)

Рассмотрим однородное уравнение (6) y +p(x)y=0

Выписываются все решения этого уравнения y=C₁exp- ,оно представлена в виде y=C φ(x)

Св-ва φ(x)

1. φ(x) ∈С( , ∀x∈( : φ(x)>0

2. φ(x₀)=exp- =1

3. φ(x) решение ур-ие (6)на(

Т.е∀x∈(

φ (x)+p(x) φ(x) ≡0

Решение ур-ие(5)

Ищем в виде y=C(x) φ(x)

Где С(x) непрерывна дифф. на ( функция подлежит определению

Подставим y=C(x) φ(x) в (5)

y = C (x) φ(x)+ C(x) φ (x)

+p(x)C(x) φ(x)=f(x) т.к C(x) +C(x)p(x) φ(x) ≡0

То C (x) φ(x)=f(x)

Т.к φ(x)>0 на (

C (x)= ∈C(

C(x) d +K, K∈R

Подставим С(x) в y(x)

y(x)= d +K) φ(x)

В результате

y(x)= +

y_о.н=y_ч.н+y_o.o

Решение преход через (x₀,y₀)

y= d +y₀

y(x₀)= d +y₀ =y Уравнение Бернулли

(7) y +p(x)y=f(x)yⁿ - Уравнение Бернулли(n≠0,n≠1)

Если n>0,то y≡0 –решение (7)

+p(x) =f(x)

Вводим новую зависимость переменных

z(x)=

=( )=( =(1-n)y^-n =(1-n) ;z +(1-n)p(x)z=(1-n)f(x) – лин. относ z(x)

Уравнение Риккати

y =a(x)y²+b(x)y+c(x) –оно не решается в квадратурах