20. Фср однородного лду с постоянными коэффициентами в случае, когда характеристическое ур-ие имеет кратные корни

(15)

Опред.:Говорят что число является корнем многочлена кратности k,если где многочлен степени(n-k), .

Пусть – корень кратности k:

;

Рассмотрим

Теорема8: Пусть является корнем кратности k характеристического многочлена тогда функции , являются решением ур-ия (13).

Док-во: Т.к. – корень кратности k

Т.е. для Функция - решение ур-ия (13)

Лемма5: Для различных чисел

Система функций:

линейно независима на

Теорема9: Пусть различные – корни характеристического многочлена кратности – соответственно. Тогда общее решение ур-ия (13) имеет вид:

, где – многочлен степени с произвольными комплексными коэффициентами

j=1…s;

Док-во: Т.к. - корень характеристического многочлена

решения ур-ия (13)

Согласно Лемме 5 эти функции линейно независимы на их Следовательно построенная система – ФСР ур-ия (13) и

где – произвольная постоянная.

А)Действительный случай:

1)Пусть (

– действительные решения

2)

;

Комплексные функции теорема 8:

– решение ур-ия (17)

По теореме: Re

Im – решения ур-ия (17)

Общий случай: Пусть действительные корни для ур-ия (17) кратности соответсвенно, – комплексные корни ур-ия (15) кратности соответственно

Тогда общее решение ур-ия (17) имеет вид:

где - многочлен степени – многочлены степени с произвольными действительными коэффициентами.

21.Отыскание частных решении неоднородного лду с постоянными коэффициентами и стандартной правой частью.

(18)

Теорема 10:Пусть , -многочлен степени m с комплексными коэффициентами - характеристический многочлен оператора L или ур-ия (18) и (19) , Тогда

1)Нерезонансный случай: Если не является корнем характеристического многочлена то ур-ие (19) имеет частное решение вида : где -многочлен степени m.

2)Резонансный случай: Если является корнем кратности x характеристического многочлена , то ур-ие (19) имеет частное решение вида: , где -многочлен степени m.

Док-во(для случая m=0 т.е. ):

а) ,

L= ,

б)

– корень кратности k т.е.

L=

L=

Ищем частное решение подставим в ур-ие (19)

Лемма 6: Если – решение ур-ия -решение ур-ия то решение ур-ия

Док-во:По условию

Лемма 7:Пусть – действительные функции; - действительные функции. Если

Инструкция: где

1. 

,

2. 

а)

б) – корень кратности k

– многочлены степени l от x

22. Нормальная система оду. Понятия решения и интегральной кривой.Постановка задачи Коши для нормальной системы, формулировка тсе.

Опред.: Нормальной системой ОДУ называется система ур-ий вида:

Замечание1: - зависимые переменные от независимой переменной x

Замечание2:Число ур-ий равно числу зависимых переменных

Замечание3: Порядок системы равен числу ур-ий

Замечание4: Каждое ур-ие ситемы разрешено относительно производной 1-го порядка.Правая часть производных не содержит.

Говорят что на промежутке I= определена вектор-функция , если на I заданы функции

Векторная запись системы (1):

Опред.: Решение нормальной системы ОДУ (1) назыв-ся упорядоченный набор функций определенных на промежутке I= и удовлетворяющих условиям:

1. n:

2. 

3. 

Опред.:Решение нормальной системы ОДУ (1) назыв-ся вектор-функция определенная на промежутке I и удовлетворяющая условиям:

1. 

2. 

3. 

Опред.: Пусть решение системы (1),(2) на промежутке I кривая и заданная параметрически уравнениями: называется интегральной кривой систем (1),(2)

Постановка задачи Коши

Дано:1)Система (1)

2)Точка

Найти: - решение определенное на окрестности точки и удовлетворяющая условиям:

или

– начальное условие задачи Коши

Запись:

Теорема(ТСЕ1 для нормальной системы ОДУ):Пусть вектор-функция определены и непрерывны в области и точка

Тогда существует - решение задачи, Коши такое: , определенное на интервале