32.Понятие устойчивости по Ляпунову и ассимптотической устойчивости. Сведение исследования устойчивости решения к исследованию устойчивости нулевого решения.
Реш.задачи Коши: y= (t)
(1)
=F(t,y)
(2) y(t0)=y0
Теория устойчивости Ляпунова
Обозначим: y=y(t,y0) - реш.задачи Коши (1)-(2)
=F(t,y(t,y0));
y(t0,y0)=y0
(1) =F(t,y) (2*)y(t0)=y0
Решение задачи (1),(2*) : y(t)=y(t,y0)
Определение: Решение задачи (1),(2*) называется устойчивым по Ляпунову, если выполняется условие:
1)
задача Коши имеет единственное решение
y=y(t,y0)
опред на [t0:+
]
2)
Определение: решение y=y(t,y0*) задачи (1),(2*) называется асимптотически устойчивым если:
1.оно устойчиво по Ляпунову
2.
Решение y(t,y0*) неустойчиво, если:
1.выполняется
2.
(t-время)
*для одной и той же системы одно решение может быть устойчивым, а другое неустойчивым.
Сведение к исследованию на устойчивость нулевого решения приведенной системы.
Пусть дана задача Коши (1),(2). Исследуем на устойчивость реш (1),(2*). y=y(t,y0), введем новую переменную x(t) = y(t)-y(t,y0*), y(t) – произвольное решение (1)
Сделаем замену в задаче (1),(2)
y=y(t,y0)
решение
(1),(2*) т.е
y(t0,y0*)=y0*,
y(t)=x(t)+y(t,y0*)
x(t)
y(t)=y(t,y0*),
Обозначим: f(t,x)=F(t,x(t)-y(t,y0*)-F(t,y(t,y0*)))
Приведенная задача:
(1’)
(2’)
y(t,y0) – устойчивость(асимптотическая устойчивость) решения x задачи (1’),(2’)
33. Устойчивость системы лду. Необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы.
(3)
A(t)=||
(t)|
C[
В этом случае задача Коши имеет единственное решение, определенный на [
Теорема
1. Решение
задачи Коши (3),
устойчиво (ассимтотически устойчиво),
если нулевое решение приведенной
однородной системы ЛДУ:
Док-во:
обозначим:
где
решение (3),
[А(t)
+
-[A(t)
=
=A(t)[
=
Следствие 1. Все решения системы ЛДУ устойчивы (ассимтотически устойчивы), если у этой системы хотя бы одно (асимтотически) устойчивое решение.
Следствие 3. Система ЛДУ называется (асимтотически) устойчивой, если у нее хотя бы одно (асимтотически) устойчивое решение. В противном случае система ЛДУ является неустойчивой.
=
-
устойчиво, если
Замечание.
1) вектор-функция
назывется ограниченной на множестве
,
если
такое, что
2) =
является
ограниченной на
в том и только в том случае, когда
ограниченна на
функция
3)Если
||
,
то
i=1,…,n
:
|x(t)|
||
M
Теорема 2. Система ЛДУ устойчива т и тт, когда все решения этой системы ограниченны (без
34. Теорема об устойчивости системы лду с постоянными коэффицентами.
(5)
=
A=||
|
;
Все решения системы определены на всей числовой оси
Рассмотрим
характеристическое уравнение системы:
det(A-λE)=0;
,
-корни
характеристического уравнения.
Теорема
3. 1) если все корни характеристического
уравнения системы (5)
=0
Имеют отрицательные действительные части
(т.е.
,
то система асимптотически устойчива.
2) если
хотя бы 1 корень характеристического
уравнения с положительной действительной
частью (т.е.
к:
,
то система (5) неусточива
Замечание.
1)
Если
<0,
n
N,
R,
то функции:
,
,
ограничены на [0,+
и
=
=0;
2)Если
то
многочлена
степени n
функции:
,
,
-
ограниченны на [0,+
=0;
3) Если
то функции
,
,
и
-
неограниченны на [0,+