7. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем неоднородных линейных уравнений.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Следствия

• Количество главных переменных системы равно рангу системы.

• Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Решение систем неоднородных линейных уравнений.

Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:

 — её расширенная матрица.

Теорема (об общем решении неоднородных систем). Пусть   (т.е. система (2) совместна), тогда:

• если  , где   — число переменных системы (2), то решение (2) существует и оно единственно;

• если  , то общее решение системы (2) имеет вид  , где   — общее решение системы (1), называемое общим однородным решением,  — частное решение системы (2), называемое частным неоднородным решением.

Пример

Решим систему

Преобразуем её к

Тогда переменные   и   обязательно будут главными, возьмём также   в качестве главной.

Заметим, что   является частным решением.

Составим однородную систему:

Тогда, подставив единицу в качестве свободной переменной  , получим ФСР однородной системы:

Общее решение системы может быть записано так:

8.Теорема Кронекера-Капелли. Однородная система линейных алгебраических уравнений.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Следствия

• Количество главных переменных системы равно рангу системы.

• Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Однородная система линейных алгебраических уравнений.

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение   системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное(единственное) решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Пример

Решим систему

Перепишем её в матричном виде:

Путём элементарных преобразований над строками приведём её основную матрицу к ступенчатому виду:

Таким образом ранг системы (ранг её основной матрицы) равен двум. Это значит, что существует   линейно независимых решения системы.

Перепишем полученную систему в виде уравнений:

Возьмём   и   в качестве главных переменных. Тогда:

Подставим по очереди единицы в качестве одной из свободных переменных:   и  .

Тогда общее решение рассматриваемой системы может быть записано так:

,

а вектора  составляют фундаментальную систему решений.