4.Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Обратная матрица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Алгоритм вычисление обратной матрицы:

1.Вычислить определитель( если опр )

2.Выписать транспонированную матрицу.

3.Составить союзную матрицу, заменив элементы транспонированной их алгебр. дополнениями.

4. =

Свойства обратной матрицы

• , где   обозначает определитель.

•  для любых двух обратимых матриц   и  .

•  где   обозначает транспонированную матрицу.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица  . Умножим обе части матричного уравнения   слева на   (порядки матриц A ⋅ X и В позволяют произвести такую операцию, смотрите статью операции над матрицами, свойства операций). Имеем  . Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как  , а по определению обратной матрицы   (E– единичная матрица порядка n на n), поэтому   Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений по матричному методу определяется равенством  . Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы  .

Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу   только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, СИСТЕМУ n ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ.

5. Понятие линейной зависимости и независимости строк матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Ранг матрицы.

Опр.Система матриц A1,…,Аk линейно независима, если нулевая матрица раскладывается по ней однозначно, т.е. из (1)

следует . В противном случае, т.е. если существуют k чисел ,.., , одновременно не равных нулю и таких, что выполнено равенство (1), система матриц называется линейно зависимой.

Элементарными преобразованиями строк называют:

• перестановка местами любых двух строк матрицы;

• умножение любой строки матрицы на константу  ,  ;

• прибавление к любой строке матрицы другой строки.

• Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.

• Элементарные преобразования обратимы.

• Обозначение   указывает на то, что матрица   может быть получена из   путём элементарных преобразований (или наоборот).

Ранг матрицы.

Минором k порядка матрицы A называется определитель порядка k с элементами, лежащими на пересечении любых k-строк и k-столбцов . k

Целое положительное число r называется рангом матрицы A, если среди минора порядка r порождённых матрицей А есть хотя бы один отличный от нуля, а все остальные нули.

 

Минор порядок которого определяет ранг матрицы называется базисным минором( их может быть несколько). Строки и столбцы базисного минора называются базисными.

Находить ранг по определителю трудно, поэтому приводим матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. Количество ненулевых строк = рангу матрицы.

Теорема: всякую ненулевую матрицу А можно привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

6. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.

• На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

• На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.