14.Производная функции.

Производной функции y=f(x), называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю( если этот предел существ.)(y’=lim ∆y/∆x, при ∆x→0)

15.Геометрический смысл производной.

Если функция в т.Х имеет конечную производную, то она называется дифференциалом к этой точке. Если во всех т. Промежутках, то она дифференциал на промежутке, следовательно, геометр. смысл. производной, есть К(углов коэф) к кривой в точке х0.

(y-f(x₀)=f’(x₀)(x-x₀))

16.Производная сложной и обратной функции.

если y=f(u) и u=φ(x) диффе-мые ф-ии от своих аргументов, то производная сложной ф-ии существ. и равна произведению данной ф-ии по промежуточному аргументу, умноженная на производную самого промеж. Аргумента по независимой переменной х.

Теорема: для диффе-мой ф-ии с производной≠0 производная обратной функции = обратной величине производной обратной функции. (Ху’=1/yx’)

17.Производная для основных, элементарных ф-ий.

1. (C)’=0, где С - постоянное число

2. (хⁿ)’=nx^{^n-1}; в частности,

3. (log_ax)’= 1/xlog_ae; в частности, (ln x)’=1/x

4. (a^x)’= a^xln a; в частности, (е^x)’=e^x

5. (sin x)’= cos x

6. (cos x)’= -sin х

7. (tg x)’= 1/cos² x

8. (ctg x)’= -1/sin² x

9. (arcsin x)’= 1/√(1-х²)

10. (arcos x)’= -1/√(1-х²)

11. (arctg x)’= 1/1+x²

12. (arcctg x)’= -1/1+x²

(sin x)’= cos x, применяя формулу sinα-sinβ=2cos(α+β)/2*sin(α-β)/2 находим ∆sinx/∆x=(sin(x0+∆x)-sinx0)/∆x=(2cos(x0+∆x/2)sin∆x/2)/∆x=(sin∆x/2)/∆x/2*cos(x0+∆x/2) указываем, что а- (sin∆x/2)/∆x/2→1(при ∆х→0) б- cos(x0+∆x/2)→cosx0(при ∆х→0), поэтому ∆sinx/∆x==(sin∆x/2)/∆x/2*cos(x0+∆x/2)→1*cosx0=cosx0

18.Производная высших порядков.

Производная от первой производной не­которой функции у = f(х) называется второй производной или производной второго порядка этой функции. Производная от второй производной называется третьей производной или производной третьего порядка. Этот процесс можно продол­жить. Производные, начиная со второй называются производ­ными высших порядков.

Производная п-го порядка определяется, таким образом, как производная от производной (п-1)-ого порядка: у^(п)=(у^(п-1))’

21.Дифференциал ф-ии, ее геометр. Смысл, ее св-ва, теоремы Роля и Лагранжа.

Дифференциал функции назыв. величину, пропорциональная приращению независимой переменной и отличающаяся от приращения ф-ии на бесконечно малую ф-ию высшего порядка малости по сравнению с приращением независимой переменной. Слагаемое к∆х в ∆у=к∆х+α∆х часто назыв. главной линейной частностью приращения ф-ии. Поэтому можно сказать: дифференциал ф-ии представляет собой главную линейную часть бесконечно малого приращения этой ф-ии.

Отсюда выходит что:1-ф-ия может иметь только один дифференциал. 2-дифференциал ф-ии отличается от приращения этой ф-ии на величину высшего порядка малости по сравнению с приращением независимой переменной.

Г еометр. смысл: проведем к графику ф-ии y=f(x) в точку М(х;у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х-∆х. На рис. АМ=∆х, ǀАМ₁ǀ=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем: tgα=ǀABǀ/∆x,т.е. ǀАВǀ-∆х*tgα. Но согласно геометр. смыслу производной, tgα-f’(x). Поэтому АВ-f’(x)*∆x или dy-AB. Это означает, что дифференциал ф-ии y-f(x) в точке х, равен приращению ординаты касательной к графику ф-ии в этой точке, когда х получает приращение ∆х.

Св-ва: 1-диффе-ал постоянной равен нулю(dc=0) 2-диффе-ал алгебраической суммы нескольких дифференцируемых ф-ий равен такой же алгебраической сумме дифференциалов этих ф-ий. ( (u+y-w)’=u’+y’-w’) 3-если две дифференцируемые ф-ии отличаются на постоянное слагаемое, то диффе-алы их равны( d(u+c)=du+dc) 4-постоянный множитель может быть вынесен за знак диффе-ала( (cu)’=c(u)’) 5- диффе-ал произведения двух сомножителей равен произведению первого сомножителя на диффе-ал второго плюс произведение второго сомножителя на диффе-ал первого

( (uz)’=u’z+uz’) 6- диффе-ал дроби раен так же дроби, числитель которой есть произведение знаменателя дроби на диффе-ал числителя минус произведение числителя на диффе-ал знаменателя, а знаменатель есть квадрат знаменателя дроби (u/y)’=(u’y-uy’)/y^2 7-диффе-ал слжной ф-ии( ф-ия от ф-ии) равен произведению производной этой ф-ии по промежуточному аргументу на диффе-ал этого промежуточного аргумента.

Теорема Роля – пусть y=f(x) удовлетворяет следующим условиям: 1-непрерывна на отрезке aв 2-диффе-ма на интервале ав 3-на конце отрезка принимает равное значение, т.е. f(a)=f(b), тогда внутри отрезка существ. по крайне мере одна точка ζ€(а,в) в которой f’(ζ)=0. Теорема Лагранжа- пусть y=f(x) удовлетворяет следующим условиям: 1-непрерывна на отрезке aв 2- диффе-ма на интервале ав, тогда внутри отрезка существ. по крайне мере одна такая точка ζ€(а,в) в которой производная равна частному отделения преращение ф-ии на преращения аргументана этом отрезке

f’(ζ)= (f(а)- f(в))/в-а

22.Возрастание и убывание ф-ий. Достаточные условия возрастания и убывания. Геометрическая интерпретация условия монотонности.

Функция возрастает на промежутке х, если для любых х1,х2, из этого промежутка х2>х1.

Теорема1:Если производная дифференцируемой ф-ии положительна внутри некоторого промежутка х, то она возрастает на этом промежутке.

Теорема 2: Если производная дифференцируемой ф-ии, отрицательна внутри некоторого промежутка х, то она убывает на этом промежутке.

Геометр: если касательная к кривой в некотором промежутке направлена под острым углом к оси абцисс, то ф-ия ↑, если под тупым углом, то↓.

Условие монотонности: если ф-ия ↑ или↓ на некотором промежутке Х, то можно утверждать, что производная неотрицательна(положительна) на этом промежутке, т.е. в отдельных точках производная монотонности может равняться нулю.