Построение модели временного ряда

1. производят выравнивание временного ряда (например методом скользящей средней);

2. расчитывают значения сезонной компоненты;

3. устраненяют сезонную компоненту и получают выровненный ряд;

4. проводят аналитическое выравнивание уровнейи расчет значений F_t-L с использованием полученного уравнения тренда;

5. расчитывают все значения;

6. расчитывают абсолютных и относительные ошибки;

42.Модели стационарных и нестационарных временных рядов. Проверка степени стационарности временных рядов. Критерий Дики — Фуллера.

Временные ряды называются стационарными, если в них присутствуют постоянная средняя, постоянная дисперсия и ковариация зависит только от интервала времени между двумя отдельными наблюдениями.  Соответственно подлежат использованию способы, позволяющие привести нестационарные ряды к условиям стационарности В общем виде для проверки стационарности – "степени интеграции временного ряда" используется критерий Дики-Фуллера. Yt = ay_t–1+St, где а – параметр;  Y_t–1 – последовательные значения признака в данном ряду;  St – величина случайных отклонений.  Проверка стационарности и интегрированности – на основе анализа корней этого уравнения: если 1> a >0, то временной ряд стационарен (нулевого порядка); если a = 1, то уравнение получает единичный корень и имеет место интегрированный ряд первого порядка; единичный корень соответствует границе области стационарности. 

47.Модели стационарных и нестационарных временных рядов. Статистический Q-критерий Бокса — Пирса.

Q-статистика Бокса-Пирса — статистический критерий, предназначенный для нахождения автокорреляции временных рядов. Вместо тестирования на случайность каждого отдельного коэффициента, он проверяет на отличие от нуля сразу несколько коэффициентов автокорреляции где n — число наблюдений,   — автокорреляция k-го порядка, и m — число проверяемых лагов. Однако, на практике данный критерий не рекомендуется применять, так как его выборочные значения могут сильно отклоняться от распределения χ². Вместо него применяется Q-тест Льюнга—Бокса, который даёт более качественные результаты.

36.Тренд-сезонные экономические процессы. Метод Шискина- Эйзенпресса.

В методике Шискина—Эйзенпресса, кроме скользящей средней, на втором ипоследующих этапах итерационной процедуры применяютсяболее сложные пятнадцати- и двадцатиодноточечные скользящиеСпенсера. Цифровая запись Кендала:

(13)

(14)

1.В (14) и (15) символы означают выравнивание рядаскользящей средней. Так, например, если N=5, то

(15)

2.Рассчитываются остаточные значения: ,или .

3.Вычисляются средние значения остаточного ряда в целомпо ряду и по месяцам (кварталам) :

(16)

4.Находится предварительная оценка средней сезонной волны

(17)

и строится новый ряд, относительно свободный от сезоннойкомпоненты

.

(18)

К ряду применяется сглаживание скользящейсредней Спенсера:

.

(19)

5.Находится улучшенная оценка сезонной компоненты:

.

(20)

5.билет. Основные функции прогнозирования. Специфические методы социально-экономического прогнозирования и их классификация.В их числе можно выделить следующие функции:1)Научный анализ экономических, социальных, научно-технических процессов и тенденций. Он осуществляется по трем стадиям: ретроспекция, диагноз, проспекция. Под ретроспекцией понимается этап прогнозирования, на котором исследуется история развития объекта прогнозирования для получения его систематизированного описания. На этой стадии происходит сбор, хранение и обработка информации, источников, необходимых для прогнозирования, оптимизация как состава источников, так и методов измерения и представления ретроспективной информации, окончательное формирование структуры и состава характеристик объекта прогнозирования.Диагноз – это такой этап прогнозирования, на котором исследуется систематизированное описание объекта прогнозирования с целью выявления тенденции его развития и выбора моделей и методов прогнозирования. На этой стадии анализ заканчивается не только разработкой моделей прогнозирования, но и выбором адекватного метода прогнозирования.Проспекция представляет собой этап прогнозирования, на котором по данным диагноза разрабатываются прогнозы развития объекта прогнозирования в будущем, производится оценка достоверности, точности или обоснованности прогноза (верификация), а также реализация цели прогноза путем объединения конкретных прогнозов на основе принципов прогнозирования (синтез). На стадии проспекции выявляется недостающая информация об объекте прогнозирования, уточняется ранее полученная, вносятся коррективы в модель прогнозируемого объекта в соответствии с вновь поступившей информацией.2)Исследование объективных связей социально-экономических явлений развития народного хозяйства в конкретных условиях в определенном периоде. При непрерывном характере прогнозирования анализ его объекта происходит также непрерывно, сопровождая все стадии формирования прогнозов, тем самым осуществляется обратная связь между реальным объектом и его прогностической моделью. В результате научного анализа хозяйственных процессов и тенденции развития экономики определяется, насколько принятые решения соответствуют будущему развитию, выявляются несоответствия в экономике, достигнутый в стране уровень сравнивается с мировым опытом.3)Оценка объекта прогнозирования базируется на сочетании аспектов детерминированности (определенности) и неопределенности.4)Выявление объективных вариантов экономического и социального развития. На основе теоретических исследований, достижений общественных, естественных и технических наук выясняются объективные варианты исследуемого процесса и тенденции его развития на перспективу.5)Накопление научного материала для обоснованного выбора определенных решений. Реализация функций прогнозирования осуществляется на основе двух подходов: поисковом и нормативном. Специфические методы экономического прогнозирования классифицируются по следующим признакам: степени формализации; общему принципу действия; способу получения прогнозной информации:1)По степени формализации, т.е. изучения какой-либо содержательной области знания в виде формальной системы, связанной с усилением роли формальной логики и использованием математических методов научных исследований, методы экономического прогнозирования можно разделить на интуитивные и формализованные.2)Интуитивные методы прогнозирования используются в тех случаях, когда невозможно учесть влияние многих факторов из-за значительной сложности объекта прогнозирования. В этом случае используются оценки экспертов. При этом различают индивидуальные и коллективные экспертные оценки, которые объединяет общий принцип действия. В состав индивидуальных экспертных оценок входят: метод “интервью”, аналитический метод, метод написания сценариев, построения “дерева целей”. При разграничении указанных методов используется третий признак классификации метод – способ получения прогнозной информации. Методы коллективных экспертных оценок включают в себя методы “комиссий”, “коллективной генерации идей” (мозговая атака), “Дельфи”, матричный метод и др. Группу формализованных методов входят две подгруппы: экстраполяции и моделирования. К первой подгруппе относятся методы наименьших квадратов, экспоненциального сглаживания, скользящих средних и др. Ко второй подгруппе относятся методы математического моделирования, регрессионного и корреляционного анализа и др.Кроме того, широко используются в процессе экономического прогнозирования нормативный и балансовый методы. Особое место в классификации методов экономического прогнозирования занимают комбинированные методы, которые объединяют различные методы. Например, коллективные экспертные оценки и методы моделирования или статистические методы и опрос экспертов.

10 билет. Предпосылки применения экстраполяционных методов прогнозирования. В методическом плане основным инструментом любого прогноза является схема экстраполяции. Сущность экстраполяции заключается в изучении сложившихся в прошлом и настоящем устойчивых тенденций развития объекта прогноза и переносе их на будущее. Различают формальную и прогнозную экстраполяцию. Формальная базируется на предположении о сохранении в будущем прошлых и настоящих тенденций развития объекта прогноза. При прогнозной экстраполяции фактическое развитие увязывается с гипотезами о динамике исследуемого процесса с учетом изменений влияния различных факторов в перспективе. Методы экстраполяции являются наиболее распространенными и проработанными. Основу экстраполяционных методов прогнозирования составляет изучение динамических рядов. Динамический ряд - это множество наблюдений, полученных последовательно по времени. В экономическом прогнозировании широко применяется метод математической экстраполяции. В математическом смысле он означает распространение закона изменения функций из области ее наблюдения на область, лежащую вне отрезка наблюдения. Тенденция, описанная некоторой функцией от времени, называется трендом. Тренд - это длительная тенденция изменения экономических показателей. Функция представляет собой простейшую математико-статистическую (трендовую) модель изучаемого явления. Следует отметить, что методы экстраполяции необходимо применять на начальном этапе прогнозирования для выявления тенденций. Рассмотрим методы экстраполяции, которые целесообразно применять при переходе к рыночным отношениям в условиях функционирования экономики. Метод подбора функций - один из распространенных методов экстраполяции. Главным этапом экстраполяции тренда является выбор оптимального вида функции, описывающей эмпирический ряд. Для этого проводятся предварительная обработка и преобразование исходных данных с целью облегчения выбора вида тренда путем сглаживания и выравнивания временного ряда. Задача выбора функции заключается в подборе по фактическим данным (x_i , y_i) формі зависимости (линии) так, чтобы отклонения (Д_i) данных исходного ряда y_i от соответствующих расчетных y_i^\ , находящихся на линии, были наименьшими. После этого можно продолжить эту линию и получить прогноз. Предпосылки применения экстраполяции:развитие исследуемого явления в целом следует описывать плавной кривой;общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не должна претерпевать серьезных изменений в будущем.Чаще всего экстраполяцию связывают с аналитическим выравниванием тренда. При этом, для выхода за  границы периода, для которого найдена зависимость от времени, достаточно продолжить значения независимой переменной во времени.Наиболее сложным методом прогнозирования является прогнозирование на основевзаимосвязанных рядов динамики. С его помощью можно получить не только оценки результативного, но и факторных признаков, т. е. анализ взаимосвязанных рядов динамики выражается с помощью системы уравнений регрессии. Прогноз в этом случае лучше поддается содержательной интерпретации, чем простая экстраполяция.Экстраполяционный метод основан на прямом использовании линейной и экспоненциальной функций, т.е. данных о среднегодовых абсолютных изменениях численности населения за период или о среднегодовых темпах роста или прироста. Если эти показатели известны, то можно рассчитать численность населения на любое число лет вперед, просто предположив их неизменность на протяжении всего прогнозного периода.Один из простейших способов прогнозирования основан на предположении о том, что среднегодовые абсолютные приросты численности населения, рассчитанные для отчетного периода времени, сохранятся и в будущем. Иначе говоря, в этом случае для перспективного расчета применяется линейная функция где Р₀ иР_t - численность населения соответственно в моменты времени 0 и t Δ - абсолютный среднегодовой прирост, t - время в годах. Пусть, например, нам известна численность населения Новосибирской области по данным переписей населения 1979 и 1989 гг. (2618 тыс. человек и 2782 тыс. человек соответственно). Определить численность населения Новосибирской области на 1 января 2000 г. при предположении неизменности ее абсолютных среднегодовых приростов**. Для этого сперва рассчитаем величину абсолютных среднегодовых приростов: Численность населения Новосибирской области на 1 января 2000 г. будет равна:Р₂₀₀₀ =2782 + 16,4 • 11= 2962,4 тыс. чел. В реальности для прогнозирования численности населения линейная функция практически не используется, поскольку предположение о неизменности абсолютных среднегодовых приростов может быть относительно верным только для очень кратких периодов времени (не более 5 лет). Несколько более реалистичным является предположение о неизменности среднегодовых темпов прироста численности населения, особенно при допущении неизменных уровней рождаемости и смертности и отсутствии миграции. В этом случае речь идет об использовании в прогнозировании экспоненциальной функции Р_t = Р₀ е^rt ,где r - среднегодовые темпы прироста, t - время в годах, е - основание натуральных логарифмов. Применим эту формулу для оценки численности населения Новосибирской области на 1 января 2000 г., используя приведенные выше данные. Рассчитаем прежде всего среднегодовые темпы прироста

15 билет. Характеристика кривых роста. Расчет параметров кривой роста методом наименьших квадратовУдобным средством описания одномерных временных рядов является их выравнивание с помощью тех или иных функций времени (кривых роста). Кривая роста позволяет получить выравненные или теоретические значения уровней динамического ряда. Это те уровни, которые наблюдались бы в случае полного совпадения динамики явления с кривой.

Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы:

1) выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответствует характеру изменения временного ряда;

2) оценка параметров выбранных кривых;

3) проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу и окончательный выбор кривой роста;

4) расчет точечного интервального прогнозов.

В настоящее время в литературе описано несколько десятков кривых роста, многие из которых широко применяются для выравнивания экономических временных рядов. Метод наименьших квадратов (МНК, OLS, Ordinary Least Squares) — один из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Метод основан на минимизации суммы квадратов остатков регрессии. Сущность МНК

Пусть задана некоторая (параметрическая) модель вероятностной (регрессионной) зависимости между (объясняемой) переменной y и множеством факторов (объясняющих переменных) x

, где   — вектор неизвестных параметров модели,  — случайная ошибка модели.

Пусть также имеются выборочные наблюдения значений указанных переменных. Пусть   — номер наблюдения ( ). Тогда   — значения переменных в  -м наблюдении. Тогда при заданных значениях параметров b можно рассчитать теоретические (модельные) значения объясняемой переменной y:

, Тогда можно рассчитать остатки регрессионной модели — разницу между наблюдаемыми значениями объясняемой переменной и теоретическими (модельными, оцененными):

, Величина остатков зависит от значений параметров b.

Сущность МНК (обычного, классического) заключается в том, чтобы найти такие параметры b, при которых сумма квадратов остатков   (англ. Residual Sum of Squares^[1]) будет минимальной:

где:

В общем случае решение этой задачи может осуществляться численными методами оптимизации (минимизации). В этом случае говорят о нелинейном МНК (NLS или NLLS —англ. Non-Linear Least Squares). Во многих случаях можно получить аналитическое решение. Для решения задачи минимизации необходимо найти стационарные точки функции  , продифференцировав её по неизвестным параметрам b, приравняв производные к нулю и решив полученную систему уравнений:

Если случайные ошибки модели имеют нормальное распределение, имеют одинаковую дисперсию и некоррелированы между собой, МНК-оценки параметров совпадают с оценками метода максимального правдоподобия (ММП).

20.билет.Методы выявления тенденций во временных рядах. Визуальный метод выбора формы кривой ростаНаиболее простой метод – визуальный, опирающийся на графическое изображение временных рядов. Подбирают такую кривую роста, форма которой соответствует фактическому развитию процесса. Если тенденция на графике просматривается недостаточно четко, то проводят преобразование исходного ряда. В литературе описан также метод последовательных разностей (помогает в выборе кривых параболического типа). Этот метод применяют при выполнении следующих предположений:.уровни ряда могут быть представлены в виде суммы трендовой составляющей и случайной компоненты, подчиненной закону нормального распределения с математическим ожиданием, равным нулю и постоянной дисперсией; метод последующих разностей предполагает вычисление первых, вторых и т.д. разностей уровней ряда:

Расчет ведется до тех пор, пока разности не будут примерно равными. Порядок разностей принимается за степень выравнивающего полинома. Этот прием можно использовать для преобразования временного ряда. При равных или равных первых разностях можно рассчитать теоретические значения уровней ряда: Утеор =у+ В отдельных случаях используют метод характеристик прироста. Процедура выбора кривых роста с использованием этого метода включает: 1) выравнивание ряда по скользящей средней;2) определение средних приростов;3) вычисление производных характеристик прироста. Для многих видов кривых были найдены такие преобразования приростов, которые линейно изменялись относительно t или были постоянны. В связи с этим исследование рядов характеристик приростов часто оказывает существенную помощь при определении законов развития исходных временных рядов. Данный метод является более универсальным по сравнению с методом последовательных разностей. Однако, чаще всего на практике к выбору формы кривой подходят исходя из значений критерия, в качестве которого принимают сумму квадратов отклонений фактических значений уровня от расчетных, получаемых выравниванием. Из рассматриваемых кривых предпочтение будет отдано той, которой соответствует минимальное значение критерия, т.к. чем меньше значение критерия, тем ближе к кривой ложатся данные наблюдений. Используя этот подход, следует иметь в виду ряд моментов. Во-первых, к ряду, состоящему из m точек можно подобрать многочлен степени (m-1), проходящий через все m точек. Кроме того, существует множество многочленов более высоких степеней, также проходящих через все эти точки. Для этих многочленов значение критерия будет равно 0, однако, очевидно, что такая кривая не слишком пригодна как для выделения тенденции, так и для целей прогнозирования.Также следует учитывать, что за счет роста сложности кривой можно увеличить точность описания тренда в прошлом, однако доверительные интервалы при прогнозировании будут существенно шире, чем у более простых кривых при одинаковом периоде упреждения, например, за счет большего числа параметров. Таким образом, использование этого подхода должно проходить в два этапа. На первом происходит ограничение приемлемых функций, исходя из содержательного анализа задачи. На втором - осуществляется расчет значений критерия и выбор на его основе наиболее подходящей кривой роста. В современных пакетах статистической обработки данных и анализа временных рядов представлен широкий спектр кривых роста. Можно среди этих кривых выбрать отдельную функцию, и получить подробный протокол, включающий оценки параметров, характеристики остатков, прогнозы, интервальные и точечные. Можно выделить на экране несколько функций, тогда протокол будет содержать оценки параметров всех заказанных функций и значения критерия для каждой из них. В качестве критерия выбирается средняя квадратическая ошибка: Подробный протокол, а также прогнозные значения, на заданное пользователем число временных интервалов, приводятся для функции, отвечающей минимуму указанного критерия. Представляется целесообразным для пользователя на основе выше рассмотренных подходов заранее отвергнуть заведомо непригодные варианты, ограничить поле выбора. 

25билет. Методы механического сглаживания временных рядов. Метод взвешенной скользящей средней.  Методы сглаживания и выравнивания динамических рядов.Исключение случайных колебаний значений уровней ряда осуществляется с помощью нахождения «усредненных» значений. Способы устранения случайных факторов делятся на две больше группы:1. Способы «механического» сглаживания колебаний путем усреднения значений ряда относительно других, расположенных рядом, уровней ряда.2. Способы «аналитического» выравнивания, т. е. определения сначала функционального выражения тенденции ряда, а затем новых, расчетных значений ряда. Методы «механического» сглаживания.

а. Метод усреднения по двум половинам ряда, когда ряд делится на две части. Затем, рассчитываются два значения средних уровней ряда, по которым графически определяется тенденция ряда. Очевидно, что такой тренд не достаточно полно отражает основную закономерность развития явления.

б. Метод укрупнения интервалов, при котором производится увеличение протяженности временных промежутков, и рассчитываются новые значения уровней ряда.

в. Метод скользящей средней. Данный метод применяется для характеристики тенденции развития исследуемой статистической совокупности и основан на расчете средних уровней ряда за определенный период. Последовательность определения скользящей средней:

устанавливается интервал сглаживания или число входящих в него уровней. Если при расчете средней учитываются три уровня, скользящая средняя называется трехчленной, пять уровней – пятичленной и т.д. Если сглаживаются мелкие, беспорядочные колебания уровней в ряду динамики, то интервал (число скользящей средней) увеличивают. Если волны следует сохранить, число членов уменьшают.

Исчисляют первый средний уровень по арифметической простой: y1 = y1/m, где y1 – I-ый уровень ряда; m – членность скользящей средней. первый уровень отбрасывают, а в исчисление средней включают уровень, следующий за последним уровнем, участвующем в первом расчете. Процесс продолжается до тех пор, пока в расчет y будет включен последний уровень исследуемого ряда динамикиy_n.по ряду динамики, построенному из средних уровней, выявляют общую тенденцию развития явления. Отрицательной стороной использования метода скользящей средней является образование сдвигов в колебаниях уровней ряда, обусловленных «скольжением» интервалов укрупнения. Сглаживание с помощью скользящей средней может привести к появлению «обратных» колебаний, когда выпуклая «волна» заменяется на вогнутую. В последнее время стала рассчитываться адаптивная скользящая средняя. Ее отличие состоит в том, что среднее значение признака, рассчитываемое также как описано выше, относится не к середине ряда, а к последнему промежутку времени в интервале укрупнения. Причем предполагается, что адаптивная средняя зависит от предыдущего уровня в меньшей степени, чем от текущего. То есть., чем больше промежутков времени между уровнем ряда и средним значением, тем меньшее влияние оказывает значение этого уровня ряда на величину средней. Исследователя глубины знаний о динамике различных социально - экономических явлений.

г.Метод взвешенной скользящей средней.Этот метод отличается от предыдущего тем, что сглаживание внутри интервала производится не по прямой, а по кривой более высокого порядка. Это обусловлено тем, что суммирование членов ряда, входящих в интервал сглаживания, производится с определенными весами, рассчитанными по методу наименьших квадратов. Если сглаживание производится с помощью полинома (многочлена) второго или третьего порядка, то веса берутся следующие: для m=5 - веса  (-3; 12; 17; 12; -3); для m=7 - веса  (-2; 3; 6; 7; 6; 3; -2) . Особенности весов:1) симметричны относительно центрального члена;2) сумма весов с учетом общего множителя равна 1. Недостаток метода: первые и последние p наблюдений ряда остаются не сглаженными.