
- •6. Максимин и минимакс игры. Максиминные и минимаксные стратегии. Нижняя и верхняя цены игры в чистых стратегиях. Соотношение между ними.
- •7.Критерий решения игры в чистых стратегиях.
- •8.Доказательство утверждения .
- •9.Удовлетворительность игровой ситуации для игрока a.
- •10.Удовлетворительность игровой ситуации для игрока b.
- •11.Равновесие в антагонистической игре.
- •12.Смешанные стратегии. Функция выигрыша и цена игры в смешанных стратегиях.
- •14.Основная теорема антагонистических игр Джона фон Неймана и седловая точка функции выигрыша.
- •16.Аналитическое решение игры 2×2 в смешанных стратегияхдля игрока b.
- •17.Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока a.
- •18.Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока b.
- •26.Игры с природой. Показатель благоприятности состояния природы. Риск игрока, принимающего решение. Матрица рисков. Принятие решений в условиях риска и неопределённости.
- •27.Критерий Байеса оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
- •30. Критерий Лапласа оптимальности чистых стратегий относительно рисков.
- •31. Критерий (крайнего пессимизма) Вальда оптимальности чистых стратегий.
- •32. Максимаксный критерий (крайнего оптимизма) оптимальности чистых стратегий.
- •33. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей и рисков. Вероятностная интерпретация коэффициентов критерия Гурвица.
- •34. Обобщенный критерий пессимизма-оптимизма Гурвица относительно выигрышей с коэффициентами для смешанных стратегий
- •1) Стратегия pо принадлежит множеству s : pо s;
- •2) Показатель эффективности g(pо) стратегии pо совпадает с ценой игры gs в стратегиях множества s:
- •35. Выбор коэффициентов
- •36. Выбор коэффициентов обобщённого критерия Гурвица для пессимиста.
- •37. Критерий Сэвиджа.
- •38. Критерий Гермейера оптимальности чистых и смешанных стратегий относительно выигрышей.
- •40. Критерий Ходжа – Лемана оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей и рисков.
- •41. Основные понятия и определения в теории неантагонистических (бескоалиционных) игр. Способы задания неантагонистической игры.
- •42. Стратегическая форма игры. Чистые и смешанные стратегии игроков в неантагонистических (бескоалиционных) играх. Функции выигрышей игроков. Доминирование стратегий.
- •44. Геометрическое решение биматричных игр 2x2.
- •45. Аналитическое решение биматричных игр 2x2.
- •46.Модель дуополии Курно.
- •47.Модель дуополии Бертрана.
- •48.Модель «Проблема общего».
- •49.Позиционная форма игры.
- •50.Понятие о конечных позиционных играх с совершенной информацией.
33. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей и рисков. Вероятностная интерпретация коэффициентов критерия Гурвица.
Данный критерий позволяет учитывать комбинацию наихудших состояний. Другими словами, при выборе решения мы находим некоторый средний результат при состоянии, находящемся между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом.
Критерий Гурвица целесообразно применять в следующих ситуациях:
Информация о состояниях окружающей среды отсутствует или недостоверна;
Необходимо считаться возможным появлением наихудшего и наилучшего состояния природы;
Допускается некоторый риск.
Рассмотрим игру
с природой размера m x n, m
2,
n
2,
с матрицей A= (aij),
где i=1,2,…,m, а j=1,2,…,n. Пусть A1
,A2
,…,Am –
чистые стратегии игрока А и П1,П2,...Пn
– состояния
природы П. Вероятности состояний
неизвестны.
Введём специальный
коэффициент λ
[0,1], которым обозначим количественную
«меру оптимизма» игрока А при выборе
стратегии. Данный коэффициент выбирает
сам игрок, на основании интуиции, личного
опыта, состояния окружающей среды или
на основе статистических исследований
результатов принятия решений.
Эффективность чистой стратегии Ai в смысле критерия Гурвица [(Hur)p (λ)] характеризуется показателем:
(Hur)pi (λ)= (1- λ)Wi + λMi , i = 1,2,…,m, (2.1)
где Wi и Mi - показатели эффективности стратегии Ai соответственно по критерию Вальда и по максимаксному критерию.
Оптимальной во
множестве чистых стратегий по критерию
Гурвица с коэффициентом λ относительно
выигрышей, или (Hur)p
(λ) – оптимальной во множестве
,
называется чистая стратегия Ak
с наибольшим (Hur)p
(λ)-показателем эффективности:
Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Гурвица с коэффициентом оптимизма λ относительно выигрышей или (Hur)p (λ)-ценой в чистых стратегиях называется максимальный из показателей эффективности:
Вероятностная интерпретация коэффициентов критерия Гурвица.
Данный критерий позволяет учитывать комбинацию наихудших состояний. Смысл его состоит в нахождении по специальной формуле эффективности всех стратегий игрока А и последующее сравнении данных показателей эффективности для выбора наиболее оптимальной стратегии, при условии полной неопределённости, т.е. вероятности состояния природы нам неизвестны. Другими словами, при выборе решения мы находим некоторый средний результат при состоянии, находящемся между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом.
Критерий Гурвица целесообразно применять в следующих ситуациях:
Информация о состояниях окружающей среды отсутствует или недостоверна;
Необходимо считаться возможным появлением наихудшего и наилучшего состояния природы;
Допускается некоторый риск.
Рассмотрим игру с природой размера m x n, m 2, n 2, с матрицей A= (aij), где i=1,2,…,m, а j=1,2,…,n. Пусть A1 ,A2 ,…,Am – чистые стратегии игрока А и П1,П2,...Пn – состояния природы П. Вероятности состояний неизвестны.
Введём специальный коэффициент λ [0,1], которым обозначим количественную «меру оптимизма» игрока А при выборе стратегии. Данный коэффициент выбирает сам игрок, на основании интуиции, личного опыта, состояния окружающей среды или на основе статистических исследований результатов принятия решений.
Эффективность чистой стратегии Ai в смысле критерия Гурвица [(Hur)p (λ)] характеризуется показателем:
(Hur)pi (λ)= (1- λ)Wi + λMi , i = 1,2,…,m, (2.1)
где Wi и Mi - показатели эффективности стратегии Ai соответственно по критерию Вальда и по максимаксному критерию.
Таким образом, Игрок А при использовании критерия Гурвица с коэффициентом λ [0,1] занимает более взвешенную позицию, чем если бы он применил критерий Вальда или максимаксный критерий.
Если открыть скобки в равенстве (2.1) и несколько преобразовать данное выражение, то можно получить показатель эффективности (Hur)pi (λ) в форме линейной функции от аргумента λ [0,1] с угловым коэффициентом (Mi -Wi):
(Hur)pi (λ) = (Mi -Wi) λ + Wi (2.2)
Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Гурвица с коэффициентом оптимизма λ относительно выигрышей или (Hur)p (λ)-ценой в чистых стратегиях называется максимальный из показателей эффективности:
(2.3)
Оптимальной во множестве чистых стратегий по критерию Гурвица с коэффициентом λ относительно выигрышей, или (Hur)p (λ) – оптимальной во множестве , называется чистая стратегия Ak с наибольшим (Hur)p (λ)-показателем эффективности:
(2.4)
Природа может находиться в самом выгодном положении с вероятностью λ и в самом невыгодном с вероятностью (1- λ). Можно также трактовать параметр λ как степень оптимизма лица, принимающего решения.