9.Удовлетворительность игровой ситуации для игрока a.

Теорема: Ситуация (A_i*, B_j*) будет удовлетворительна для игрока А тогда и только тогда, когда его выигрыш совпадет с показателем неэффективности стратегии B_j* игрока В: , то есть будет максимальной в j-ом столбце матрицы игры

Д-во: Пусть ситуация (A_i*, B_j*) удовлетворительна для игрока А. Тогда по определению справедливо нер-во .Из этого неравенства и по определению пок-ля неэффек-ти (1) стратегии B_j* следует, что , то есть нер-во доказано. Тогда применяя (1) при j=j_* получим , то есть доказано

10.Удовлетворительность игровой ситуации для игрока b.

Теорема: Ситуация (A_i*, B_j*) будет удовлетворительна для игрока В тогда и только тогда, когда его проигрыш совпадет с показателем эффективности стратегии A_i* игрока A: , то есть будет минимален в i-ой строке матрицы игры

Док-во: Если ситуация (A_i*, B_j*) удовлетворительна для игрока В, то из нер-ва и равенства при i=i_* получим и рав-во доказано.

Если же это справедливо то по при i=i_* будем иметь то есть доказано неравенство

11.Равновесие в антагонистической игре.

Ситуация (сложившаяся в результате выбора игроками А и В соответственно стратегий и называется равновесной, или ситуацией равновесия, или устойчивой, или седловой, точкой игры, если она удовлетворительна для каждого из игроков А и В, т.е. если выполняются неравенства:

или равенства:

Выигрыш соответствующий ситуации равновесия , называют седловой точкой матрицы игры.

Теорема 1 (свойство равнозначности седловых точек).

Если и - седловые точки, то

Теорема 2 (свойство взаимозаменяемости седловых точек).

Если и - седловые точки, то и и - также седловые точки.

12.Смешанные стратегии. Функция выигрыша и цена игры в смешанных стратегиях.

Стратегия игрока, состоящая в случайном выборе одной из его чистых стратегий, называется смешанной стратегией. Это дискретную случайную величину, значениями которой являются номера его чистых стратегий.

,

Р и Q - смешанные стратегии игроков А и В. Таким образом, смешанная стратегия Р(Q) задается законом распределения

1	…	i	…	m
p1	…	pi	…	pm

где pi ≥ 0 (qj ≥ 0) - вероятность применения игроком А (B) чистой стратегии Ai (Bj), и p1 +...+ pi +...+ рт = 1 (так же для q).

Смешанную стратегию Р можно отождествить с m-мерным вектором (p1, ..., рт), т. е.

То же относится и к В: p меняем на q, i меняем на j

Обозначим через

--- множество всех смешанных стратегий игрока А Каждую чистую стратегию Ai, i = 1, ..., m, игрока A можно рассматривать как смешанную стратегию в которой чистая стратегия Ai выбирается с вероятностью pi = 1, а все остальные чистые стратегии - с 0. Поэтому конечное множество , состоящее из т чистых стратегий игрока А, является собственным (при т ≥ 2) подмножеством бесконечного множества его смешанных стратегий SA:

каждую смешанную стратегию можно представить линейной комбинацией чистых стратегий с коэффициентами, являющимися координатами данной смешанной стратегии:

Функция выигрыша игрока А в смешанных стратегиях, заданная на декартовом произведении множеств смешанных стратегий, ставит в соответствие каждой ситуации в смешанных стратегиях средний выигрыш игрока А, определяемый выражением:

Таким образом, ,

где

Матричная форма выигрыш-функции:

Нижней ценой (или максимином) матричной игры в смешанных стратегиях называется

Верхней ценой (или минимаксом):

Для любой конечной матричной игры существуют нижняя и верхняя цены игры в смешанных стратегиях.

Смешанная стратегия PО SA, максимизирующая показатель эффективности α(Р) - максиминная смешанная стратегия игрока А, а нижняя цена игры показатель t` эффективности:

В частном случае PО = является максиминной чистой стратегией игрока A.

Аналогично, смешанная стратегия QО SB, минимизирующая показатель неэффективности β(Q), назовем минимаксной смешанной стратегией игрока В. Показатель неэффективности минимаксной смешанной стратегии QО равен верхней цене игры :

Если QО = то - минимаксная чистая стратегия.

13.Теорема о соотношении нижней и верхней цен игры в чистых и смешанных стратегиях.

Теорема.Нижняя цена игрыαи верхняя цена игрыβв чистых стратегиях, нижняя цена игры и верхняя цена игры в смешанных стратегиях удовлетворяют следующим неравенствам:

Доказательство. Начнем доказательство с левого неравенства (1).

По определению:

нижней цены в смешанных стратегиях

Здесь правая часть не зависит от Р и потому это неравенство остается верным и для Р = , i= 1, ..., m:

Так как полученное неравенство справедливо для всех i= 1, ..., m, то оно будет справедливым в частности для того номера i, который максимизирует показатель эффективности :

Итак, первое из неравенств (1) доказано.

Докажем второе неравенство ≤ в (1). Для любых Р и Q по

и

имеем

Соотношение (2) означает, что в любой ситуации в смешанных стратегиях (Р,Q) выигрыш H (P, Q)игрока A не меньше показателя эффективности α(P)его стратегии Р и не больше показателя неэффективности стратегии Q противника В.

Так как (2) справедливо для любых Р и Q , то из него следует, что

Докажем последнее (правое) из неравенств (1). В силу определения

верхней цены игры в смешанных стратегиях

В частности, это неравенство справедливо и для чистых стратегий Q = ,j = 1, ..., n , игрока В

и, следовательно, неравенство остается в силе и для того номера j,который минимизирует показатель неэффективности β( ) стратегии , т.е.

Итак, (1) доказано.