44. Геометрическое решение биматричных игр 2x2.

Рассмотрим биматричную игру размерности 2×2:

.

Очевидно, что смешанные стратегии игроков в случае игры 2×2 полностью описываются вероятностями p и q выбора игроками своих первых чистых стратегий. Вторые чистые стратегии выбираются, соответственно, с вероятностями 1 – p и 1 – q. Поэтому, поскольку и , любая ситуация в смешанных стратегиях в биматричной игре 2×2 может быть представлена как точка в единичном квадрате (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Графическое представление ситуации

Ситуациям в чистых стратегиях соответствуют вершины этого квадрата.

Перепишем функцию выигрыша первого игрока в виде

.

Ожидаемый выигрыш первого игрока повышается (в зависимости от p), если и уменьшается, если , поэтому лучшими ответами игрока 1 (среди всех стратегий, как чистых, так и смешанных), являются , если , и , если .

При , таком, что , ожидаемый выигрыш игрока 1 не зависит от его стратегий. В этом случае игроку 1 безразлично, выбрать ли одну из своих чистых стратегий, или же выбрать какую-нибудь смешанную стратегию . Это означает, что если , то смешанная стратегия является наилучшим ответом на смешанную стратегию при любом значении p от 0 до 1.

Аналогичные рассуждения можно провести и для второго игрока, основываясь на его функции выигрыша, записанной в виде:

.

Пример.

.

Запишем функцию выигрыша для первого игрока: .

Игрок 1 максимизирует свой выигрыш при , если , или . Если , или , то лучший ответ . Если , первому игроку безразлично, выбрать ли одну из своих чистых стратегий, или же выбрать какую-нибудь смешанную стратегию .

Рассмотрим теперь варианты оптимального по Нэшу поведения игрока 2. Его функцию выигрыша запишем в виде:

.

Игрок 2 максимизирует свой выигрыш при , если , или . Если , или , то лучший ответ . Если , второму игроку безразлично, выбрать ли одну из своих чистых стратегий, или же выбрать какую-нибудь смешанную стратегию .

Теперь найдём точки пересечения построенных графиков, образующие равновесные по Нэшу ситуации.

Рис. 8.4. Равновесные по Нэшу ситуации ( черным - 1-й игрок, синим - 2-й)

Таким образом, решение биматричной игры даёт три равновесных по Нэшу игровых ситуаций:

1. : , , .

2. : , , , .

3. : , , .

45. Аналитическое решение биматричных игр 2x2.

Изучение лучших ответов игроков на поведение противника позволяет нам сформулировать ещё один подход к решению биматричных игр. Для его реализации проверим систему (8.16) для чистых стратегий игроков, т.е. для , , , :

или после алгебраических преобразований

Решение данной системы позволяет находить все равновесные по Нэшу ситуации.

46.Модель дуополии Курно.

Дуополия – это частный случай олигополии, когда на рынке конкурируют друг с другом только 2 фирмы. Две фирмы А и В производят однородный продукт и Q₁,Q₂ –объемы производства этого продукта. Функция спроса имеет вид P(Q)=a-Q, где Q=Q₁+Q₂-совокупный объем выпуска продукции фирмами, (P(Q)=0 при Q>=a). Издержки производства у фирм можно записать след. Формулами

C₁(Q₁)=cQ₁

C₂(Q₂)=cQ₂

Функции отражают факт равенства предельных издержек(параметр с) на производство единицы продукции для фирм А и В

Фирмы выбирают Q_i одновременно и независимо. Прибыль фирмы равна ее выручке за вычетом издержек производства, то есть формула прибыли является выигрышем игроков.

Π_k(Q₁,Q₂)=Q_k(P(Q)-c)=Q_k(a-(Q₁+Q₂)-c), k=1,2

В этой моделе множество стратегий у каждой из 2х фирм не является конечным: каждая фирма может выбрать любой неотрицательный объем производства. Функции выигрышей фирм являются непрерывными функциями от их их стратегий. Если (Q₁^*,Q₂^*) –равновесие Нэша, то Q_i^* должен максимизировать π_i

π₁(Q₁,Q₂^*)max

π₂(Q₁^*,Q₂)max

Решим задачу максимизации прибыли для фирмы А

Стоит рассмотреть условия существования экстремума в моделе Курно для игрока А

Приравняв Q₁^* и Q₂^*, мы получим следующее отношение Q₁^*=Q₂^*=1/3(a-c)

Для графической интерпретации данной игры обозначим функции реакции игроков А и В соответственно символами R₁(Q₂) и R₂(Q₁). Таким образом, кривые реагирования будут выглядеть так:

вместо q надо Q поставить

R_i(Q_j) – это объем выпуска i-й фирмы, максимизирующий ее прибыль, при условии, что j-я фирма производит Q_j. На графике их также можно изобразить

Точка пересечения кривых реагирования- равновесие по Курно, то есть равновесие по Нэшу в модели дуополии по Курно.