1.Основные понятия и определения теории антагонистических игр.

Основные понятия:

• Игра

• Игрок

• Конфликт Выигрыш

• Стратегия

• Цена игры

• Игровая ситуация

Игра – математическая модель конфликтной ситуации, включающая четко определенные правила действия игроков, добивающихся для себя удачного результата в игре и вынужденных учитывать интересы других участников.

Игроки – заинтересованные в конфликте (игре) стороны.

Под конфликтом понимается всякое явление, в котором участвуют отдельные игроки или группы игроков с определенными несовпадающими интересами. Типичный конфликт характеризуется 3 основными составляющими: заинтересованными сторонами, возможными действиями игроков и интересами сторон.

Стратегия – некоторый план или совокупность правил игрока, по которому он совершает выбор решения при каждом своем личном ходе.

– множество стратегий k-го игрока (Pk)

Множество стратегий – все возможные стратегии игроков.

Игровая ситуация – результат выбора каждым из игроков своей стратегии.

_{Множество игровых ситуаций} – все возможные варианты игровых ситуаций. Образует ситуационное пространство игры.

Выигрыши игроков

Платежная матрица – матрица, элементами корой являются выигрыши (проигрыши) игрока.

Антагонистическая игра – игра с нулевой суммой, в которой выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.

Платежная биматрица игры:

Стратегии игрока A	Стратегии игрока B
			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

2.Классификация игр.

Игры классифицируют по различным признакам в соответствии с конкретизацией видов и свойств составляющих характеристик игры.

• Кооперативные и некооперативные (коалиционные и бескоалиционные).

Коалиционные – если игроки могут объединяться в группы, беря на себя некоторые обязательства перед другими игроками. Если в игре образование коалиций недопустимо или нецелесообразно, то такие игры называются бескоалиционными. В бескоалиционных играх цель каждого игрока – получение максимально возможного индивидуального выигрыша.

• Симметричные и несимметричные.

Симметричные – тогда, когда соответствующие стратегии игроков равноценны, т.е. приносят игрокам одинаковые результаты.

• С нулевой и ненулевой суммой.

С нулевой суммой – в которой фонд игры (сумма всех выигрышей) равен сумме всех проигрышей.

• Параллельные и последовательные.

Параллельные – игроки ходят одновременно, они не знают, какие стратегии выбрали их оппоненты. Последовательные – участники ходят в заранее установленном порядке и имеют возможность получить информацию о предшествующих действиях других игроков.

• С полной и неполной информацией.

С полной информацией – участники знают все ходы, сделанные до текущего момента.

• Дискретные и непрерывные.

Дискретные – конечное множество игроков, стратегий; функция выигрыша имеет конечную область определения.

Также, игры можно классифицировать по числу игроков: парные игры, в которых два игрока, и множественные игры, в которых число игроков больше двух. Если в парной игре игроки преследуют противоположные цели, то игра называется антагонистической. В такой игре один из игроков выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой.

3.Функция выигрыша и матрица выигрышей. Чистые стратегии игроков. Соотношение между матрицами выигрышей игроков A и B в антагонистической игре.

Функция выигрыша: _{, k – игроки, s – ситуации.}

Функция выигрыша игрока А (на примере задачи «Производство и реализация товаров»)

Функция выигрыша игрока В (на примере задачи «Производство и реализация товаров»)

Матрица выигрышей для игрока А (на примере задачи «Производство и реализация товаров»)

М атрица выигрышей для игрока В (на примере задачи «Производство и реализация товаров»)

Чистая стратегия игрока – стратегия, которую выберет игрок с вероятностью = 1. Чистая стратегия даёт полную определенность, каким образом игрок продолжит игру.

Если рассматриваемая игра - антагонистическая (т.е. с нулевой суммой выигрышей), то матрица выигрышей В игрока В является противоположной транспонированной матрице выигрышей А игрока А:

4.Доминирование чистых стратегий.

Доминирование – ситуация, при которой одна из стратегий некоторого игрока дает больший выигрыш, нежели другая, при любых действиях его оппонентов.

Цель принципа доминирования – уменьшить размер матрицы, путем выбрасывания из рассмотрения тех стратегий, которые являются очевидно невыгодными.

Доминирование чистых стратегий игрока А

Доминирование чистых стратегий игрока В

5.Максиминный и минимаксный принципы игроков. Показатели эффективности и неэффективности чистых стратегий игроков.

Показатель эффективности: минимальный выигрыш игрока А.

Показатель неэффективности: максимальный проигрыш игрока В.

Максиминный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором максимизируется показатель эффективности.

При этом выигрыш – максимин, или нижняя цена игры.

Минимаксный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором минимизируется показатель неэффективности.

При этом проигрыш - минимакс, или верхняя цена игры.

6. Максимин и минимакс игры. Максиминные и минимаксные стратегии. Нижняя и верхняя цены игры в чистых стратегиях. Соотношение между ними.

Максимин – максимизация минимума возможных доходов. Минимакс - минимизация максимума возможных потерь (учет всех возм-х рисков).

Максиминный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором максимизируется показатель эффективности.

; - показатель эфф-ти итой стратегии игрока А. , или . При этом выигрыш – максимин, или нижняя цена игры.

Минимаксный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором минимизируется показатель неэффективности.

; -показатель джитой эффек-ти игрока В. , или . При этом проигрыш - минимакс, или верхняя цена игры.

Игрок В выбирает из стратегии . Выбирая, он вправе рассчитывать на рез-ты. В силу рациональности обоих игроков, А будет стремится максимизировать свои доходы, а В мин-ть потери.

Соотношение для α и β:

Для элементов матрицы A имеют место неравенства , , ,

и, следовательно, нижняя цена игры не больше её верхней цены в чистых стратегиях: .

7.Критерий решения игры в чистых стратегиях.

Критерий реш-я игры в ЧС - выигрыш одного из них равен проигрышу другого. Внешние факторы отсутствуют. Оба игрока обладают конечным числом действий и логикой, которая определят

их действия. Строки матрицы являются возможными действиями игрока А, столбцы матрицы - возможными действиями игрока В. Возможные действия игроков называются чистыми стратегиями.

Критерий решения игры в чистых стратегиях упирается в критерий существования цены игры в чистых стратегиях.

Свойство: ни одному из игроков А и В, придерживающихся одной из своих оптимальных стратегий невыгодно от нее отклоняться, поскольку в этом случае он не увеличивает свой выигрыш.

Цена игры в чистых стратегиях представляет собой значение выигрыша игрока А, которое он не может увеличить, если игрок В придерживается своей оптимальной стратегии и значение проигрыша игрока В, которое последний не может уменьшить при условии, что игрок А действует по своей оптимальной стратегии.

Теорема: для того, чтобы существовала цена игры в чистых стратегиях, т.е. для того чтобы нижняя цена игры равнялась верхней цене игры , необходимо и достаточно существование у матрицы этой игры седловой точки.

В игре без седловых точек ни у одного из игроков оптимальных стратегий нет. Т.е. задача в чистых стратегияхи меет решение, если сущ. седловая точка.

8.Доказательство утверждения .

Теорема. Для элементов матрицы A имеют место неравенства , , ,и, следовательно, нижняя цена игры не больше её верхней цены в чистых стратегиях: .

Док-во. По определению показателей эффективности стратегий Ai игрока А ( )и определению показателей неэффективности стратегий Bj игрока В ( ) имеем: , cлед-но доказано.

так как доказанное неравенство справедливо для любых i=1,..,m, j=1,..n, то оно будет справедливым в частности для номеров i=i₀ и j=j₀ соответственно максиминной и минимаксной стратегией A_i0 и B_j0: . Тогда в силу получим требуемое неравенство