Совершенные кнф и днф. Способы построения совершенных нормальных форм. Разложение логических функций по переменным. Совершенные нормальные формы.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
Элементарная конъюнкция называется правильной, если в неё каждая переменная входит не более одного раза, включая её вхождение и под знаком отрицания.
Элементарная конъюнкция называется полной относительно набора переменных если в неё входит каждая из этих переменных не менее одного раза, включая и их вхождение под знаком отрицания.
Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) называется дизъюнктивная нормальная форма, в которой нет одинаковых элементарных конъюнкций и все элементарные конъюнкции правильные и полные.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма.
Элементарная дизъюнкция называется правильной, если в неё каждая переменная входит не более одного раза, включая её вхождение и под знаком отрицания.
Элементарная дизъюнкция называется полной относительно переменных x,y,z ..., если в неё входит каждая из этих переменных не менее одного раза, включая и их вхождение под знаком отрицания.
Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) относительно переменных x,y,z,... , называется конъюнктивная нормальная форма, в которой нет одинаковых элементарных дизъюнкций и все элементарные дизъюнкции правильные и полные относительно переменных x,y,z,... .
Построения сднф и скнф.
Построение СДНФ:
1. Преобразование исходной формулы в днф (см выше):
Шаг 1.
Преобразовать исходную формулу к равносильному ей виду, в котором есть лишь операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания (перейти в сигнатуру алгебры логики), причём отрицания могут стоять лишь над элементарными переменными высказываниями (использовать закон Де-Моргана).
Шаг 2.
Преобразовать полученную формулу к равносильному ей виду, в котором все конъюнкции выполняются раньше, чем дизъюнкции (раскрыть скобки), т.е. построить ДНФ для исходной формулы.
2.Преобразование днф в сднф.
Шаг 3.
Если в ДНФ есть несколько одинаковых элементарных конъюнкций, то оставляем только одну - это преобразование приводит к равносильной формуле , т.к. xVx=x.
Шаг 4.
Делаем все элементарные конъюнкции правильными с помощью следующих двух преобразований:
- если в элементарной конъюнкции переменная входит со своим отрицанием, то удаляем эту конъюнкцию из ДНФ.
- если некоторая переменная входит в элементарную конъюнкцию несколько раз, причем или во всех случаях без отрицаний, или во всех случаях с отрицаниями, то оставляем только одну эту переменную.
Шаг 5.
Преобразуем
правильные конъюнкции в полные. Пусть
в некоторую элементарную конъюнкцию
не входит переменная x, тогда рассмотрим
выражение
(x
)
и повторить шаг 2 и 3. Если недостающих
переменных несколько, то проделать
аналогичные преобразования со всеми
недостающими переменными.
Алгоритм построения СКНФ.
1. Преобразование исходной формулы в кнф.
Шаг 1.
Преобразовать исходную формулу к равносильному ей виду, в котором есть лишь операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания (перейти в сигнатуру алгебры логики), причём отрицания могут стоять лишь над элементарными переменными высказываниями.
Шаг 2.
Преобразовать полученную формулу к равносильному ей виду, в котором все дизъюнкции выполняются раньше, чем конъюнкции (применить дистрибутивный закон), т.е. построить КНФ для исходной формулы.