Основные тождества (равносильные формулы) алгебры логики.

xy=yx; xy=yx – коммутативность
x(yz)= (xy)z; x(yz)= (xy) z; - ассоциативность
x(yz)=(xy)(xz); x(yz)=(xy)(xz) – дистрибутивность
xx=x; xx=x - идемпотентность;
x1=x; x1=1; x0=0; x0=x – законы операций с константами
x(yx)=x; x(yx)=x – законы поглощения;
xx=0 - закон противоречия;
xx=1 - закон исключения третьего
x=x – закон двойного отрицания
xy = yx – закон контрапозиции;
(xy)= xy; (xy)=xy – законы де Моргана;
(xy)(xy)=x; (xy)(xy)=x - формулы расщепления (или склеивания)

Все тождества можно доказать, составив таблицы истинности.

Если в тождестве заменить знак = на <-> то получится тавтология.

С помощью основных тождеств можно упрощать логические выражения, т.е. уменьшать количество формул и операций. При этом следует стремиться к замене всех связок на  и .

Кроме перечисленных выше законов для преобразования и упрощения формул булевых функций используются тождества, получившие название правил или операций.

Правило отрицания

Для получения отрицания некоторого выражения достаточно заменить в нем знаки дизъюнкции знаками конъюнкции, знаки конъюнкции знаками дизъюнкции, а все аргументы – их отрицаниями. Если в выражении имеются константы их тоже надо заменить противоположными значениями.

Правило свертки

xx y=xy

x(xy)=xy

Правило обобщенного склеивания (теорема П.С.Порецкого)

xyyzxz=xyyz

(xy)(yz)(xz)=(xy)(yz)

Преобразование импликации

xy= xy;

 (xy)= xy

Двойственные функции

Функция g(x₁,...,x_n) = ¬f(¬x₁,...,¬x_n) называется двойственной функцией к функции f и обозначается f^* .

Пример (x & y)^* = ¬(¬x & ¬y) = x  y.

Теорема: Функция, двойственная к двойственной функции f равна самой функции f.

Доказательство. f^*(x₁,...,x_n)^* = (¬f(¬x₁,...,¬x_n))^* = ¬¬f(¬¬x₁,...,¬¬x_n) = f(x₁,...,x_n)

Рассмотрим, что происходит с таблицей двойственной функции. Замена набора (x₁,...,x_n) на (¬x₁,...,¬x_n) соответствует ``переворачиванию'' таблицы. Действительно, наборы (x₁,...,x_n) и (¬x₁,..., ¬x_n) расположены симметрично относительно середины таблицы. Теперь остаётся применить операцию ¬ к результату функции, т.е. поменять 0 на 1 и 1 на 0. Т.о. вектор значений функции, двойственной к исходной, получается из вектора исходной функции переворачиванием и заменой 0 на 1, а 1 на 0.

Функции x & y и x  y, задаваемые векторами значений (0,0,0,1) и (0,1,1,1) двойственны друг к другу. Также двойственными являются x  y и x  y, задаваемые векторами (0,1,1,0) и (1,0,0,1). Каждая из функций x и ¬x (векторы (0,1) и (1,0) соответственно) двойственна сама себе.

Принцип двойственности.

Функция, двойственная к суперпозиции функций, равна суперпозиции двойственных функций. Точнее:

f₀(f₁,...,f_m)^* = f₀^*(f₁^*,...,f_m^*)

6.Полнота системы логических функций. Примеры полных систем. Классы логичиских функций и критерий Поста. Сигнатура алгебры логики. Двойственные функции