Характеристическая функция

Характеристическая функция или индикатор показывает принадлежность элементов множеству (обозначается или ).

Характеристическая функция пустого множества

Характеристическая функция универсального множества

Произведение характеристической функции на саму себя:

Операциям над множествами соответствуют операции над их характеристическими функциями:

Характеристическая функция пересечения:

Характеристическая функция объединения:

Характеристическая функция дополнения:

Характеристическая функция разности:

Законы алгебры множеств:

Коммутативность:

Ассоциативность:

Дистрибутивность:

Идемпотентность:

Действия с универсальным и пустым множествами:

,

,

,

Де Моргана:

Способы доказательства тождеств на множествах

1. Графическое доказательство

Для построения графического доказательства необходимо изобразить на диаграмме Эйлера-Венна все множества, входящие в тождество таким образом, что бы присутствовали их все возможные пересечения, после чего построить результат операций левой и правой частей тождества.

Например, докажем тождество

1. Диаграмма левой части:

2. Диаграмма правой части:

Как видно из рисунка, результат операции левой и правой частей совпадают, следовательно тождество верно.

Выполнение графических построений для 4 и более множеств проблематично.

2. Доказательство взаимного включения множеств (доказательство «если-то»)

Докажем что

1. Докажем что первое множество полностью лежит во втором

,

таким образом

2. В обратную сторону:

таким образом

3. Так как и , то (по определению равенства множеств)

3. С использованием характеристических функций

Докажем что

1. Характеристическая функции левой части:

2. Характеристическая функции правой части:

3. , следовательно

3.Кортежи. Декартово произведение множеств. Отношения, свойства отношений (рефлексивность, симметричность, транзитивность, антисимметричность). Операции на отношениях. Отношения эквивалентности и порядка.

Кортеж (вектор) – упорядоченная последовательность элементов. Элементы вектора – координаты или компоненты. Число компонент – размерность вектора.

Обозначение – в круглых скобках (иногда – в треугольных).

Проекция вектора на ось i – его i-й компонент.

Декартово (прямое) произведение множеств

Называется множество всех векторов (a,b), таких что и :

Мощность прямого произведения n множеств равна произведению мощностей соответствующих множеств.

Доказательство…. (Метод мат. индукции)

Отношения.

n-местным отношением R на множествах называется подмножество прямого произведения .

Если множества совпадают, то говорят что задаёт n-арные отношения.

При n = 2 отношение называется бинарным.

Далее будем рассматривать только бинарные отношения определенные на А.

Отношение может быть записано в виде R(a, b) или aRb.

Так же используется обозначение

Для любого множества А определены отношения:

Тождественное отношение .

Универсальное отношение .

Пустое отношение.

Операции на отношениях:

Пересечение

Объединение

Произведение

Дополнение:

Обратное отношение к R:

Свойства отношений:

Рефлексивность: xRx, для всех x

Симметричность: xRy => yRx

Транзитивность: xRy, yRz => xRz

Антисимметричность: xRy, yRx => x=y

Бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Отношение эквивалентности разбивает на семейство подмножеств (классов разбиения). Каждый его элемент принадлежит некоторому из этих подмножеств (именно – R(a)). Совокупность всех классов разбиения обозначается A/R и называется фактор-множеством множества A относительно эквивалентности R.

[a], обозначает класс из A/R к которому принадлежит a. Сам элемент a называют представителем этого класса.

Квазипорядком называют отношение, которое рефлексивно и транзитивно.

Частичным порядком (или просто порядком) называется отношение, которое рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Порядок обозначается символом .

так же является порядком и обозначается .

Порядок называется линейным, если для любых либо a либо b .

Множество, на котором задан частичный порядок, называется частично упорядоченным относительно данного порядка.

Множество, на котором задан линейный порядок, называется линейно упорядоченным относительно данного линейного порядка.

Каждое подмножество A’ множества частично упорядоченного множества обладает индуцированным порядком. Если порядок A’ линеен, то множество A’ называется цепью в A.

Максимальный, минимальный, наибольший, наименьший элемент.

Нижняя грань ( , точная нижняя грань , верхняя грань , точная верхняя грань .

Множество называется вполне упорядоченным, если для любого его непустого подмножества существует точная нижняя грань, принадлежащая этому подмножеству.