7. Кванторы существования и всеобщности. Логические суждения с кванторами. Область действия кванторов, связанные и свободные переменные. Эквивалентные отношения в логике предикатов.

В предикатной логике, квантор существования (экзистенциальный квантификатор) — это предикат свойства или отношения для, по крайней мере, одного элемента области определения. Он обозначается как символ логического оператора ∃ (произносится как «существует» или «для некоторого»). Квантор существования отличается от квантора всеобщности, который утверждает, что свойство или отношение выполняется для всех элементов области.

Квантор всеобщности (обозначения:  , ∀) — это условие, которое верно для всех обозначенных элементов, в отличие от квантора существования, где условие верно только для каких-то отдельных из указанных чисел. Формально говоря, это квантор, используемый для обозначения того, что множество целиком лежит в области истинности указанного предиката. Читается как: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», «любой…», «для любого…».

Эквивалентные отношения в логике предикатов см. тетрадь.

7. Понятие алгоритма. Неформальное (интуитивное) определение алгоритма. Примеры алгоритмов. Основные свойства алгоритмов. Роль алгоритмов в информатике. Алгоритмические проблемы. Машина Тьюринга - описание и примеры. Рекурсивные функции.

Алгори́тм — набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения результата решения задачи за конечное число действий.

Рассмотрим пример алгоритма для нахождения середины отрезка при помощи циркуля и линейки. Алгоритм деления отрезка АВ пополам: 1) поставить ножку циркуля  в точку А; 2) установить раствор циркуля равным длине отрезка АВ; 3) провести окружность; 4) поставить ножку циркуля в точку В; 5) провести окружность; 6) через точки пересечения окружностей провести прямую; 7) отметить точку пересечения этой прямой с отрезком АВ.

Основными свойствами алгоритма являются:

1. детерминированность (определенность). Предполагает получение однозначного результата вычислительного процecca при заданных исходных данных. Благодаря этому свойству процесс выполнения алгоритма носит механический характер;

2. результативность. Указывает на наличие таких исходных данных, для которых реализуемый по заданному алгоритму вычислительный процесс должен через конечное число шагов остановиться и выдать искомый результат;

3. массовость. Это свойство предполагает, что алгоритм должен быть пригоден для решения всех задач данного типа;

4. дискретность. Означает расчлененность определяемого алгоритмом вычислительного процесса на отдельные этапы, возможность выполнения которых исполнителем (компьютером) не вызывает сомнений.

Понятие алгоритма — одно из основных в программировании и информатике. Это последовательность команд, предназначенная исполнителю, в результате выполнения которой он должен решить поставленную задачу. Алгоритм должен описываться на формальном языке, исключающем неоднозначность толкования. Запись алгоритма на формальном языке называется программой. Иногда само понятие алгоритма отождествляется с его записью, так что слова «алгоритм» и «программа» — почти синонимы. Небольшое различие заключается в том, что под алгоритмом, как правило, понимают основную идею его построения. Программа же всегда связана с записью алгоритма на конкретном формальном языке.

Пе­ре­чис­лим не­ко­то­рые важ­ные ал­го­рит­ми­че­с­кие про­бле­мы.

1. Про­бле­ма са­мо­при­ме­ни­мо­сти. Су­ще­ст­ву­ет ли ал­го­ритм, по­зво­ля­ющий по про­из­во­ль­но­му на­ту­ра­ль­но­му чис­лу x от­ве­чать на во­прос: "схо­ди­т­ся ли _x(x)?". Со­глас­но те­зи­су Чёр­ча-Кли­ни эту про­бле­му мож­но пе­ре­фор­му­ли­ро­вать в сле­ду­ющей эк­ви­ва­ле­нт­ной фор­ме: "су­ще­ст­ву­ет ли об­ще­ре­кур­сив­ная фун­кция g₀ та­кая, что g₀1, ес­ли _x(x) схо­ди­т­ся и g₀0, ес­ли _x(x) рас­хо­ди­т­ся?".

2. Про­бле­ма оста­но­вки [Род­жерс,1972,с.43]. Су­ще­ст­ву­ет ли ал­го­ритм, по­зво­ля­ющий по про­из­во­ль­ной па­ре на­ту­ра­ль­ных чи­сел (x,y) от­ве­чать на во­прос: "Схо­ди­т­ся ли _x(y)?". Со­глас­но те­зи­су Чёр­ча-Кли­ни эту про­бле­му мож­но пе­ре­фор­му­ли­ро­вать в сле­ду­ющей эк­ви­ва­ле­нт­ной фор­ме: "су­ще­ст­ву­ет ли об­ще­ре­кур­сив­ная фун­кция g от двух пе­ре­мен­ных та­кая, что g(x,y)1, ес­ли _x(y) рас­хо­ди­т­ся и g(x,y)0, ес­ли _x(y) рас­хо­ди­т­ся?".

3. Про­бле­ма об­ще­ре­кур­сив­но­сти [Род­жерс,1972,с.45]. Су­ще­ст­ву­ет ли ал­го­ритм, по­зво­ля­ющий по про­из­во­ль­но­му на­ту­ра­ль­но­му чис­лу x от­ве­чать на во­прос: "Яв­ля­ет­ся ли n-мес­тная фун­кция _x об­ще­ре­кур­сив­ной?". Со­глас­но те­зи­су Чёр­ча-Кли­ни эту про­бле­му мож­но пе­ре­фор­му­ли­ро­вать в сле­ду­ющей эк­ви­ва­ле­нт­ной фор­ме: "Су­ще­ст­ву­ет ли об­ще­ре­кур­сив­ная фун­кция (x) та­кая, что (x)1, ес­ли _x - n-мес­тная об­ще­ре­кур­сив­ная фун­кция и (x)0 в про­тив­ном слу­чае?".

Машина Тьюринга: