Основные понятия теории множеств (множество, пустое множество, универсальное множество, подмножество, булеан). Мощность множества, равномощные множества. Конечные, бесконечные и счётные множества. Способы задания множеств.
Множество - это совокупность определённых различаемых объектов, причём таких, что для каждого можно установить, принадлежит этот объект данному множеству или нет.
Множества обычно обозначаются заглавными латинскими буквами, а элементы множества - строчными. Элементами множеств могут быть любые объекты, например, числа, символы, слова, объекты реального мира. В частности, элементами множества могут быть другие множества.
Например:
A = { a, b, c } - множество A состоящее из 3 элементов
N = { 1, 2, 3, … } - множество N целых чисел
Элементы множества являются уникальными, то есть, один и тот же элемент не может включаться в множество несколько раз (в отличие от векторов и мультимножеств). Считается, что при добавлении в множество элемента, который в нем уже присутствует, множество не меняется.
Порядок записи элементов множества не является существенным (в отличие от записи элементов векторов, где порядок важен).
Таким образом, множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Если
некоторый объект
является элементом множества
,
то этот факт записывается следующим
образом:
и читается «x
принадлежит А». Аналогично, если элемент
не является элементом множества
,
используется запись
(«y
не принадлежит А»).
Пустое
множество
–
это множество, не содержащее элементов.
Пустое множество может быть обозначено
с использованием фигурных скобок:
= { }.
Однако, множество B
= {
}
не является пустым: это множество,
содержащее один элемент, который является
пустым множеством.
Универсальное множество Е – множество всех объектов, рассматриваемых в данной задаче.
Конечные и бесконечные множества. Если количество элементов множества конечно (то есть существует натуральное число, равное количеству элементов множества), то такое множество называется конечным. В противном случае множество называется бесконечным.
Мощность множества или кардинальное число |A| (иногда card(A)). Мощность множества является обобщением понятия количества элементов на бесконечные множества. Для конечных множеств мощность равна количеству элементов множества.
Мощность
пустого множества по определению равна
нулю:
.
Равномощные множества – это множества, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие.
Счётное множество – множество, равномощное множеству натуральных чисел.
Множество
А называют подмножеством множества
B (обозначается
либо
)
если все элементы, которые принадлежат
множеству A, так же
принадлежат и множеству B.
В этом случае B называют надмножеством A
Пустое
множество является подмножеством любого
множества.
Любое
множество является подмножеством самого
себя:
Любое
множество является подмножеством
универсального множества:
Два
множества A и B
равны тогда и только тогда, когда A
является подмножеством B
и B является подмножеством
A.
Если множество A является подмножеством множества B, но A и B не равны, то в этом случае говорят что А является собственным подмножеством B (обозначается ).
Некоторые
специальные множества:
(Натуральные числа),
(целые числа),
(вещественные числа),
(рациональные числа),
Способы задания множеств
Списком: Элементы множества записываются через запятую и обрамляются фигурными скобками.
Иногда,
список может содержать многоточие:
,
однако такая запись не является строгой
и может быть использована только там,
где смысл её ясен. Более строго следовало
бы записать
.
Так
же, для записи элементов с индексами
иногда используется упрощенная запись
Описанием свойств элементов (или характеристическим предикатом): В фигурных скобках записывается обозначение элемента множества, от которого вертикально чертой отделяется логическая функция (предикат), определяющий принадлежность элементов множеству.
Такая запись читается «A – это множество таких x, что для них верно H(x)»
Например,
множество четных чисел может быть задано
в виде:
(читается «A – множество
таких натуральных чисел, которые делятся
на 2»)
При задании подмножеств может использоваться сокращенная запись:
(«А – множество таких x, принадлежащих B, что x делится на 2»)
Порождающей процедурой: В фигурных скобках записывается обозначение элемента множества, от которого вертикально чертой отделяется описание порождающей процедуры, генерирующей элементы множества.
Например, множество четных чисел может быть задано в виде
Множество
степеней двойки:
Словестным описанием. Описание должно быть точным и недвусмысленным, объективным.
Например: А = множество чётных чисел. B = множество белых ворон.
Множество хорошей музыки – не катит, т.к. воспринимается каждым по-своему.
Графическое. (Диаграммы Эйлера – Венна). Круг Эйлера - ограничивает множество. Рамка - универсальное множество.
Операции над множествами (объединение, пересечение, дополнение, разность, симметрическая разность, декартово произведение). Законы алгебры множеств. Способы доказательства законов алгебры множеств. Характеристические функции.
Операции над множествами (алгебра множеств)
Основные
операции: объединение
,
пересечение
,
разность (\), симметрическая разность
,
дополнение.
Объединение
множеств
– это множество, состоящее из элементов
входящих в любое из множеств A
или B:
Например,
для множеств
и
результатом объединения будет:
Операция
объединения может быть использована
для объединения нескольких множеств:
Пересечение
множеств
– множество, содержащее элементы,
входящие в оба множества одновременно:
Для
множеств, приведенных выше:
Разность
множеств
– это подмножество элементов
множества A, не
входящих в B:
Для
множеств, приведенных выше:
Разности
A\B
и B\A
в общем случае не совпадают:
Симметрическая
разность
– состоит из элементов входящих либо
в A либо в B,
но не в оба множества сразу.
Для
множеств, приведенных выше:
Дополнение
до универсального множества
- подмножество универсального множества,
элементы которого не содержатся в A.
Для того что бы выписать элементы дополнения не достаточно знать только элементы множества A, необходимо так же задать элементы универсального множества E.
Графическое отображение операций на множествах: а, б) – исходные множества А и В, в) объединение г) пересечение д) разность A\B, е) симметрическая разность, ж) дополнение A
Декартово (прямое) произведение множеств
Называется
множество всех векторов (a,b),
таких что
и
:
Мощность прямого произведения n множеств равна произведению мощностей соответствующих множеств.
Доказательство…. (Метод мат. индукции)