19.2. Формальная модель выбора

Теория функций выбора (К. Эрроу, П. Фишберн, А. Сен, М. А. Айзерман, Ф. Т. Алескеров, А. В. Малшневский, Б. Г. Мир- кин и др.),' опирается на следующую формальную модель вы­бора. Имеется некоторое заданное множество допустимых вари­антов (объектов, альтернатив) Х^а = • • • которое в теории выбора принято обозначать строчными буквами. Множе­ство Х^а содержит не менее двух вариантов \Х^а\ > 2 и предпо­лагается конечным. Любое подмножество вариантов X С Х^а₁ на котором производится выбор, называется предъявлением.

Результатом выбора, или просто выбором, из предъявления X называется некоторое подмножество предпочтительных вари­антов У CI, выделенных ЛПР тем или иным образом. Функ­цией выбора С будем называть правило, или набор правил, ста­вящих в соответствие каждому предъявлению X результат вы­бора Y. Формально функция выбора Y = С(Х) представляет собой множество пар {(X, У)} и является отображением вида С : А —> А, заданным на семействе А всех непустых подмножествпредъявлений X из исходного множества Х^а и сужающим мно­жество всех возможных вариантов до подмножества Y. Заме­тим, что в отличие от обычной функции функция выбора уста­навливает соответствие между множествами, а не между эле­ментами множеств.

Выбор называется пустым, или отказом от выбора, если Y = = С{Х) = 0,\Y\ = 0; одиночным, если Y = С(Х) = {ж}, \Y\ = 1; и множественным, если |У| > 1 при любом X € А. Вариант х Е Х^а называется приемлемым, если он принадлежит резуль­тату выбора ж Е У = С(Х). Если предъявляется единственный приемлемый вариант ж, то этот вариант х и выбирается. В этом случае выполняется условие {х} = С({х}).

Схематически формальную модель выбора можно изобра­зить в виде преобразователя, на вход которого поступает предъ­явление X, а на выходе имеется результат выбора Y (рис. 19.1). Функцию выбора Y = С(Х) можно определить двояко:

• поэлементным заданием совокупности всех вариантов у из множества X, удовлетворяющих некоторым условиям $i(y), Ф₂(у), т.е.

С(Х) = {уеХ\Ф₁(у), Ф₂(у), ...};

• путем целостного задания единственного подмножества Y множества вариантов X, удовлетворяющего некоторым услови­ям Фх(П Ф₂(У), ..., т.е.

C(X) = {Y СХ|Ф!(У),Ф₂(У), ...}.

Требования Фх, Ф₂, ... и Фх, Ф₂, • • •? обусловливающие выбор, могут быть описаны содержательно на естественном языке или представлены формально логически. Различные условия будут порождать, вообще говоря, разные функции выбора.

В реальных ситуациях выбора совокупность предъявляемых наборов вариантов не произвольна, а ограниченна, и образует некоторое подсемейство А_р семейства А всех возможных подмно­жеств множества X, которое будем называть семейством допу­стимых предъявлений. Функция выбора С(Х) С X будет опре­делена тогда только для предъявлений X € А_р и задавать отоб­ражение С: А_р —> А. Назовем ее частичной функцией выбора. При А_р = А функция выбора называется всюду определенной.

Часто в задачах выбора бывает трудно рассмотреть все вари­анты, имеющиеся в исходном множестве Х^а, и поэтому часть из вариантов может остаться не предъявленной для выбора. В по­добной же ситуации оказываются и уже просмотренные вари­анты, если не решено принять их, либо отвергнуть. Выбор, при котором для некоторых из существующих вариантов не сдела­но никакого определенного решения или это решение неизвест­но, называется неполным. Неполный выбор задается на семей­стве А_р допустимых предъявлений функциями выбора С^г(Х) и С°(Х), такими, что для любого X Е А_р выполняется

С^г(Х) С X, С°(Х) С X, С¹{Х) П С°(Х) = 0.

Варианты х Е С^г(Х) называются принятыми, а х Е С°(Х) — отвергнутыми. Одно из множеств С¹{Х), С°(Х) й оба эти мно­жества могут оказаться пустыми. Если С^г(Х) U С°(Х) = X, то говорят, что выбор в предъявлении X полностью определен.

Задание частичной функции выбора С(Х) на семействе А_р соответствует ситуации, когда выбор в любом предъявлении X Е Ар полностью определен. В этом случае частичная функция выбора совпадает с множеством принятых вариантов С\{Х) = = С(Х), а множество отвергнутых вариантов представляет ее дополнение С°(Х) = Х\ С\Х).

Построение функции выбора производится на основе инфор­мации о выборе, сделанном на ограниченном семействе А_р допу­стимых предъявлений. Как и всякая другая функция, функция выбора может быть задана различными способами. При таблич­ном задании функции выбора для каждого допустимого предъ­явления X* приводятся множества принятых С^г(Х) и отвергну­тых С°(Х) вариантов. При аналитическом задании функции вы­бора используются формальные аппараты теории множеств, ал­гебры логики, функционального анализа, теории оптимального управления.