32.Распределения «хи-квадрат», стьюдента и фишера-снедекора.

В качестве меры расхождения между эмпирическими частотами (n_i) и теоретическими (n_i’) для i(1,m) используют критерий Пирсона.

χ²= (n_i-n*p_i)²/np_i

Дифференциальная функция распределения χ² с v=n степенями свободы задается формулой:

f(χ²)=1/(2^n/2*Г(n/2))* (χ²)^(n/2-1)*e^{x^2/2}

где Г(х) – гамма, функция Эйлера.

Г(х)=

Согласно теореме Пирсона при n→∞, статистика χ² имеет χ² распределение k=l-r-1.

Пусть Х, Х₁, Х₂,…,Х_k – независимые нормально распределенные СВ с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями. Безразмерная величина t:

t=X/ =X/ ,

называется дробью Стьюдента.

Дифференциальная функция t-распределения с v=k степенями свободы задается формулой:

f(t)=(Г((k+1)/2))/ *(k/2))*(1+t²/k)^(k+1)/2

Пусть Х₁, Х₂,…,Х_m и Y₁, Y₂,…,Y_n одинаково распределенные по нормальному закону СВ, являющиеся взаимно независимыми, для которых математическое ожидание равно нулю, а среднеквадратическое отклонение равно единице. Дробь Фишера:

F(m,n)=(χ²_m/m)/(χ²_n/n), она имеет F-распределение с ν₁=m – числом степеней свободы числителя, и ν₂=n – числом степеней свободы знаменателя, которое называется распределением Фишера-Снедекора.

33.Многомерные св.

Многомерной СВ называется набор из n-штук СВ (Х₁, Х₂,…,Х_n)

Т.к. каждая СВ Х_i из этого набора есть функция от элементарных исходов, то многомерная СВ Х=(Х₁, Х₂,…,Х_n) также есть функция от элементарных исходов, отображающая множество всех элементарных исходов Ω в множестве наборов Ʀⁿ

Х:ωϵΩ→(Х₁, Х₂,…,Х_n)ϵ Ʀⁿ

Если СВ Х и Y дискретные, то двумерная СВ (х,у) также дискретная.

ЗР двумерной СВ называется множество ее значений и соответствующие вероятности этих значений.

P_ij=P(X=x_i, Y=y_j)

Функция распределения двумерной СВ: F(x,y)=P(X<x, Y<y)

34.Зависимые и независимые св.

СВX и Y называются независимыми, если их совместная функция распределения f(x,y)=F₁(x)*F₂(y), в противном случае зависимые.

35.Корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Ковариацией (корреляционным моментом) двух СВX и Y называется математическое ожидание произведения отклонения этих СВ от их математических ожиданий и обозначается: cov(x,y)

Cov(x,y)=M((X-MX)*(Y-MX))

Свойства ковариации:

1)симметричность cov(x,y)=cov(y,x)

2)cov(x,x)=DX

3) Если СВ независимые, то cov(x,y)=0, обратное неверно.

Коэффициентом корреляцииСВX и Y называется число равное r(x,y)=cov(x,y)/Ϭ_x* Ϭ_y

Свойства коэффициента корреляции:

1)Для любых 2 дискретных СВX и Y, -1≤r(x,y)≤1

2) Если СВ Х и Y независимы, то r(x,y)=0

3)Если r(x,y)=0, то говорят, что СВ Х и Y не коррелированы, что не означает их независимости вообще; в других случаях СВ называются коррелированными.

36.Неравенства маркова и чебышева.

Неравенство Маркова. Если для СВ Х существует M|X|<+∞, то для любого ε>0 верно неравенство:

Р(|X|≥ε)≤M|X|/ε

Обобщенное неравенство Чебышева. Пусть функция g монотонно возрастает и неотрицательна на полуинтервале [0; +∞), если для СВ Х существует M(g(|X|))<+∞, то для любого ε<0 верно неравенство:

Р(|X|≥ε)≤M(g(|X|))/g(ε)

Неравенство Чебышева. Для СВ Х существует математическое ожидание ее квадрата и оно конечно МХ²<+∞, то для любого Ϭ>0, верно:

Р(|X-MX|)<Ϭ)≤DX/Ϭ²