- •1. Множества: основные понятия и определения. Способы задания множества.
- •3. Теорема о сущ-ии точной верхней и точной нижней грани.
- •4. Открытые и замкнутые множества. Компактность множества. Отображение.
- •5. Числовые последовательности и арифметические действия над ними.
- •7.Бесконечно-малые и –большие последовательности. Теория связи между б. М. И б. Б. Посл-ми.
- •9. Сходящиеся последовательности.
- •12. Предельный переход в неравенствах.
- •15. Число е
- •16. Теорема о вложенных промежутках.
- •17. Понятие функции. Способы задания функции.
- •18. Предел функции в точке. Правый, левый пределы функции( по Гейне и по Коши)
- •19. Предел ф-и на бесконечности( по Гейне и по Каши)
- •23. Бесконечно малые и бесконечно большие ф-и.
- •24. Сравнение бесконечно малых ф-й.
- •25. Три определения непрерывности функции в точке.
- •26. Точки разрыва функции. Их классификация.
- •27. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •28. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
- •29. Первая теорема Больцано-Коши
- •35. Понятие обратной функции. Непрерывность обратной функции.
- •36. Понятие производной. Геометрический и экономический смысл производной.
- •37. Понятие дифференцируемости функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
- •38 Теорема о связи дифференцируемости функции и существованием производной
- •39 Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке.
- •40. Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала.
- •41.Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между ними.
- •42.Свойства бесконечно малых функций.
- •Теорема: Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых ф-ций в точке а, как произведение бесконечно малой на ограниченную ф-цию, является бесконечно м.
- •44.Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного двух функций.
- •45.. Производная степенной и логарифмической функций.
- •46.Теорема. Производная обратной ф-ции.
- •47. Производная показательной ф-ции
- •49. Понятие логарифмической производной. Производная показательно-степенной функции. Производная степенной функции с любым вещесвенным показателем.
- •50. Производные высших порядков
- •51. Дифференциалы высших порядков
- •52. Возрастание и убывание ф-ции в точке
- •53 Локальный экстремум ф-ции. Необходимое условие.
- •54. Теорема Ролля
- •60. Второе достаточное условие локального экстремума функции
- •62. Понятие выпуклости-вогнутости. Определение промежутков выпуклости-вогнутости графика функции.
- •65. Вертикальная и горизонтальная асимптоты графика функции
35. Понятие обратной функции. Непрерывность обратной функции.
Опр: Пусть на множестве Х задана функция f(x), причём Y – множество ее значений, т.е. задано множество пар чисел (х,у) (х Х, у У), в котором каждое число х входит лишь в одну пару, а каждое число у – по крайней мере в одну пару. Если в каждой паре этого множества поменять местами числа х и у , то получим множество пар чисел (у,х), которое называется обратной функцией к функции f(x). Графики взаимно-обратных ф-ций симметричны относительно y=x и имеют одинаковый характер монотонности.
ТЕОР: Пусть ф-ция Y=f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на некотором пром-ке Х и пусть У – мн-во ее значений. Тогда на мн-ве У обратная ф-ция x=(y) однозначна, строго монотонна и непрерывна.
36. Понятие производной. Геометрический и экономический смысл производной.
О: Приращением ф-ции Y=f(x) в точке X0, отвечающим приращению аргумента X, будем называть число Y=f(X0+X) – f(X0).
О: Производной ф-ции Y=f(x) в данной точке X0 называется предел при X0 отношения приращения ф-ции к приращению аргумента. При условии, что он существует – конечная производная. Если он равен бесконечности, то ф-ция имеет бесконечную производную. Если ф-ция имеет конечную производную в каждой точке мн-ва Х, то можно рассматривать производную как ф-цию определенную на мн-ве Х.
О: Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной ф-ции в точке равно угловому коэффициенту касательной в этой точке.
37. Понятие дифференцируемости функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
О: Ф-ция Y=f(x) называется дифференцируемой в точке X0, если ее приращение Y в этой точке можно представить в виде Y=AX+(X)X, где А – некоторое число, не зависящее от X, а (X) – ф-ция аргумента X, являющаяся бесконечно малой при X0, т. е. lim (X)=0.
Теорема: Для того, чтобы ф-ция Y=f(x) была дифференцируема в точке X0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
38 Теорема о связи дифференцируемости функции и существованием производной
Операцию нахождения производной обычно называют дифференцированием. Если ф-ция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого пром-ка, то говорят, что она дифференцируема на этом пром-ке.
39 Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке.
Теорема: Если ф-ция Y=f(x) дифференцируема в данной точке X0, то она и непрерывна в этой точке.
Док-во: Так как ф-ция Y=f(x) дифференцируема в точке X0, то ее приращение в этой точке можно представить в виде Y=AX+(X)X. Тогда, переходя к пределу при X0 получаем limY=AlimX+lim (X)limX=0, что означает непрерывность функции Y=f(x) в точке X0 согласно определению.
Обратное утверждение неверно: ф-ция f(x), непрерывная в точке, может не иметь производную в этой точке.
Таким образом, требование дифференцируемости ф-ции более сильное, чем требование непрерывности, поскольку из первого автоматически вытекает второе.