- •1. Множества: основные понятия и определения. Способы задания множества.
- •3. Теорема о сущ-ии точной верхней и точной нижней грани.
- •4. Открытые и замкнутые множества. Компактность множества. Отображение.
- •5. Числовые последовательности и арифметические действия над ними.
- •7.Бесконечно-малые и –большие последовательности. Теория связи между б. М. И б. Б. Посл-ми.
- •9. Сходящиеся последовательности.
- •12. Предельный переход в неравенствах.
- •15. Число е
- •16. Теорема о вложенных промежутках.
- •17. Понятие функции. Способы задания функции.
- •18. Предел функции в точке. Правый, левый пределы функции( по Гейне и по Коши)
- •19. Предел ф-и на бесконечности( по Гейне и по Каши)
- •23. Бесконечно малые и бесконечно большие ф-и.
- •24. Сравнение бесконечно малых ф-й.
- •25. Три определения непрерывности функции в точке.
- •26. Точки разрыва функции. Их классификация.
- •27. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •28. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
- •29. Первая теорема Больцано-Коши
- •35. Понятие обратной функции. Непрерывность обратной функции.
- •36. Понятие производной. Геометрический и экономический смысл производной.
- •37. Понятие дифференцируемости функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
- •38 Теорема о связи дифференцируемости функции и существованием производной
- •39 Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке.
- •40. Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала.
- •41.Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между ними.
- •42.Свойства бесконечно малых функций.
- •Теорема: Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых ф-ций в точке а, как произведение бесконечно малой на ограниченную ф-цию, является бесконечно м.
- •44.Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного двух функций.
- •45.. Производная степенной и логарифмической функций.
- •46.Теорема. Производная обратной ф-ции.
- •47. Производная показательной ф-ции
- •49. Понятие логарифмической производной. Производная показательно-степенной функции. Производная степенной функции с любым вещесвенным показателем.
- •50. Производные высших порядков
- •51. Дифференциалы высших порядков
- •52. Возрастание и убывание ф-ции в точке
- •53 Локальный экстремум ф-ции. Необходимое условие.
- •54. Теорема Ролля
- •60. Второе достаточное условие локального экстремума функции
- •62. Понятие выпуклости-вогнутости. Определение промежутков выпуклости-вогнутости графика функции.
- •65. Вертикальная и горизонтальная асимптоты графика функции
23. Бесконечно малые и бесконечно большие ф-и.
1.Функция называется бесконечно малой в точке х=а, если предел этой функции в точке а равен 0.
2.на языке
Ф-ция (х) называется бесконечно малой в точке х=а, если для любого положительного числа >0 существует >0 такое, что для всех хХ, удовлетворяющих условию 0<|x-a|< выполняется неравенство |(x)|<
3. на языке послед-ти.
Ф-ция (х) называется бесконечно малой в точке х=а, если для любой сходящейся к а послед-ти значений Х, отличных от а, соответствующая послед-сть значений ф-ции ( хn) является бесконечно малой.
Ф-ция A(x) называется бесконечно большой в точке х=а, если для любого положительного числа >0 существует положительное число такое, что для всех хХ, удовлетворяющих условию 0<|x-a|< выполняется неравенство |a(x)|>
Ф-ция А (х) называется бесконечно большой в точке а, если для любой сходящейся к а послед-ти xn, значений аргумента X, соответствующая послед-ть значений ф-ции A(xn) является ББП.
Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функции
Ф-ция обратная бесконечно малой является бесконечно большой и наоборот.
24. Сравнение бесконечно малых ф-й.
Пусть (х) и (х) две ф-ции заданные для одних и тех же значений аргумента и обе являются бесконечно малыми в точке х=а.
1.говорят, что (х) является в точке а бесконечно малой более высокого порядка, чем (х), если lim α(x)\β(x) =0
ха
2. (х) и (х) являются бесконечно малыми одного порядка в точке а, если lim α(x)\β(x) = a ,.
ха
где а – конечное отличное от 0 число.
3. (х) и (х) являются в точке а эквивалентными бесконечно малыми, если lim α(x)\β(x) = 1 .
ха
α(x)~β(x)
25. Три определения непрерывности функции в точке.
Определение 1: Ф-ция f(x) называется непрерывной в точке x=0, если lim f(x) =f(x0), при х0
Замечание: Если f(x) непрерывна в точке x, то она определена и существует в точке x. Если lim x =x0, то lim f(x) = f(x0) = f(lim x).
Определение по Гейне.
Ф-ция f(x) называется непрерывной в точке x0, если для любой п-ти значение аргумента {xn} сходящейся к х0 соответствующая п-ть значений ф-и {f(xn)} cходится к числу f(x0).
Определение по Коши
Ф-ия f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого >0 существует такое >0, что при всех х, удовлетворяющих условию |x – х0| , выполняется нер-во |f(x) – f(х0)|<.
( >0 : x, |x – х0|<: |f(x) – f(х0)|<).
Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке х0, если lim f(x) =f(х0) при х0+ (х0-)
26. Точки разрыва функции. Их классификация.
Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) в этой точке не является непрерывной функцией.
Классификация разрывов:
1)Точки устранимого разрыва: точка х0 – точка устранимого разрыва ф-ции f(x), если lim ф-ции в точке х0 сущ-ет, но ф-ция в точке х0 либо не определена, либо имеет значение, отличное от значения предела функции в этой точке.
2)Точки разрыва I рода: точка х0 – точка разрыва I рода ф-ции f(x), если в этой точке ф-ция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
3)Точки разрыва II рода: точка х0 – точка разрыва II рода, если в этой точке ф-ция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.