15. Число е

Рассмотрим {x_n} x_n= ( 1+ 1\n)ⁿ , т. е. послед-ть сост из эл-в (1+1)¹, (1+1\2)² , (1+1\3)3

16. Теорема о вложенных промежутках.

Теорема. Для любой послед-ти вложенных отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем этим отрезкам.

17. Понятие функции. Способы задания функции.

Пусть заданы два множества Х и У, если каждому элементу хХ поставлен в соответствие по вполне определенному закону f единственный элемент уУ, обозначаемый f(x) и если каждый элемент уУ при этом оказывается поставленным в соответствие хотя бы одному эл-ту хХ, то говорят что на мн-ве Х задана однозначная функция у=f(x).

способы задания функции:

1)аналитически - pакон устанавливающий соответствие между множеством всех значений аргумента и множеством всех значений функции задается посредством формул.

2)Табличный способ - заданиt таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции.

3)графический - соответствие между элементом и функцией задается посредством графика

18. Предел функции в точке. Правый, левый пределы функции( по Гейне и по Коши)

Опр-е по Гейне

Число B называется пределом функции У = F(Х) в точке А (или при ХА), если для любой послед-сти значений аргумента Х1, Х2,…, Хn,…, сходящейся к А и состоящей из чисел Хn, отличных от А, соответствующая послед-сть значений функции F(X₁), F(X₂),…,F(X_n),… сходится к числу B.

Опр-е по Коши.

Число B называется пределом функции У = F(Х) в точке А (или при ХА), если для любого положительного числа  найдется отвечающее ему положительное число , зависящее от , такое, что для всех значений аргумента Х, удовлетворяющего условию 0<|X – A|<, справедливо неравенство |F(X) – B|<.

Число B называется правым (левым) пределом функции У = F(Х) в точке А (или при ХА), если для любой последовательности значений аргумента {Хn}, сходящейся к А и состоящей из чисел Хn, больших (меньших) А, соответствующая последовательность значений функции F(Xn) сходится к числу B.

Число B называется правым (левым) пределом функции У = F(Х) в точке А (или при Х^А), если для любого положительного числа  найдется отвечающее ему положительное число , зависящее от , такое, что для всех значений аргумента Х, удовлетворяющего условию А<X<А+ (А - <X<А), справедливо неравенство |F(X) – B|<.

19. Предел ф-и на бесконечности( по Гейне и по Каши)

По Гейне

Число B называется пределом функции У = F(Х) при Х, если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента {Хn} соответствующая последовательность значений функции {F(Xn} сходится к числу B.

По Коши

Число B называется пределом функции У = F(Х) при Х, если для любого положительного числа  найдется отвечающее ему положительное число , зависящее от , такое, что для всех значений аргумента Х, удовлетворяющего условию |X|>, справедливо неравенство |F(X) – B|<.

По Гейне ( определенный знак)

Число B называется пределом функции У = F(Х) при Х+ (при Х - ), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента {Хn}, все элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции {F(Xn} сходится к числу B.

По Коши( определенный знак)

Число B называется пределом функции У = F(Х) при Х+ (при Х- ), если для любого положительного числа  найдется отвечающее ему положительное число , зависящее от , такое, что для всех значений аргумента Х, удовлетворяющего условию X> (X<), справедливо неравенство |F(X) – B|<.

20. теоремы о пределах ф-й.

Пусть две функции f(x) и g(x) заданы на одном множестве и имеют пределы в точке А, равные В и С. Тогда функции f(x)+g(x), f(x) – g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x) имеют в точке А пределы равные В+С, В – С, В*С, В/С (при С0).

Теорема о трех функциях Пусть функции f(x), g(x), h(x) определены в некоторой окрестности точки а, за исключением быть может самой точки а, и функции f(x) и h(x) имеют в точке а предел равный b, т.е

lim f(x) = lim h(x)= b .

^{ха ха}

Пусть кроме того выполняется неравенство f(x) g(x) h(x) для всех хХ. тогда lim g(x) в точке а=b

Док-во. Пусть {х_n} произвольная, сходящаяся к а последовательностей значений аргумента функций f(x) и h(x), все элементы которой отличны от а. В силу определения предела функции по Гейне соответствующие последовательности значений функций {f(x_n)}и {h(x_n)} имеют предел, равный b. Используя неравенства, данные в условии теоремы, можно записать f(x_n)≤h(x_n)≤g(x_n) для всех n N. Но тогда по теореме последовательность {g( x_n)} сходятся к b. В силу произвольности последовательности значений аргумента {x_n}, сходящейся к а, и в силу определения предела функции по Гейне это означает , что lim g(x) =b.

^ха